Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
ВПО 011200 – Физика
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ®
2014
УДК 530.1(075.8)
ББК 22.2
А 45
А л е ш к е в и ч В. А. Электромагнетизм. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 404 с. —
ISBN 978-5-9221-1555-1.
Учебник является третьим учебником серии «Университетский курс общей физики»
и предназначен студентам физических специальностей вузов. Главная особенность учебника —
многоуровневая концепция изложения важнейших экспериментальных фактов и основ теории
физических явлений с учетом современных научных достижений. Книга включает следующие
основные разделы: заряды и электрическое поле, металлы и диэлектрики в электростатическом
поле, постоянный электрический ток, магнитное взаимодействие токов и зарядов, магнетики, электромагнитное поле и уравнения Максвелла, электромагнитные колебания и волны,
зонная теория электропроводности, полупроводники, контактные явления, полупроводниковые
устройства, низкоразмерные структуры. В заключении приведены санитарные нормы электромагнитной безопасности Минздрава Российской Федерации.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Физика».
Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки ВПО
011200 — Физика.
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра общей и теоретической физики и МПФ
Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина
(зав. кафедрой заслуженный деятель науки и техники РФ проф. В.А. Степанов);
доктор физ.-мат. наук, проф. А.Н. Мансуров
(Московский педагогический государственный университет)
Учебное издание
АЛЕШКЕВИЧ Виктор Александрович
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Редактор Е.С. Артоболевская
Корректор В.Р. Игнатова
Оригинал-макет: В.В. Затекин
Оформление переплета: А.В. Андросов
Подписано в печать 01.04.2014. Формат 70 100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 32,82. Уч.-изд. л. 35. Тираж 700 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с электронных носителей издательства
в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
Тел.: (8352) 28-77-98, 57-01-87
Сайт: www.volga-print.ru
ПРЕДИСЛОВИЕ
Классическая теория электромагнетизма была создана в XIX столетии
и стала фундаментальным учением об устройстве окружающего нас мира.
Представление об электромагнитных полях, полевой теории существования
материи, взаимопревращениях различных форм энергии придает теории общефилософское и мировоззренческое значения. Она сыграла выдающуюся роль в развитии и становлении теории относительности. И, наконец,
невозможно переоценить ее практическое значение, обеспечившее бурный
научно-технический прогресс за прошедшие полтора столетия.
Вместе с тем курсы «Электромагнетизм» (в классических университетах),
«Электродинамика» и т. п. на протяжении вот уже многих лет остаются достаточно консервативными дисциплинами. Одна из объективных причин тому —
упоминавшаяся выше завершенность теории в позапрошлом веке. Подавляющее большинство существующих в настоящее время учебников по этим курсам оперируют с одними и теми же или очень похожими экспериментальными
фактами и примерами, подчас заимствованными из далекого прошлого. Это,
безусловно, снижает как практическую пользу от преподавания курсов, так
и интерес учащихся к их изучению.
За прошедшие несколько десятилетий мир кардинально изменился. Были
развиты прорывные технологии, позволившие создать уникальные приборы и устройства, средства хранения, обработки и передачи информации.
Среди них, например, атомно-силовой микроскоп (блестящая иллюстрация
проявления электростатического взаимодействия), обеспечивающий реально
атомное разрешение, сканеры и интравизоры, магниторезонансный томограф,
высокочувствительные металлодетекторы и металлоискатели, накопители на
флэш-памяти с объемом памяти, достигающим 1 Тб, современные ксерокопировальные устройства, разнообразные принтеры и аппараты факсимильной
связи.
Поражают воображение возможности современных ускорителей заряженных частиц в сверхсильных магнитных полях, в том числе Большой адронный
коллайдер с суммарной энергией протонов 14 ТэВ, поездов на магнитной
подушке, достигающих скоростей свыше 500 км/ч, электромагнитных пушек,
небольшой снаряд которых, вылетая со скоростью близкой к первой космической, превращает твердую мишень в плазменное облако и пр.
По-прежнему для человечества актуальны проблемы использования атмосферного электричества и передачи энергии беспроводным способом, проблемы земного магнетизма и защиты Земли от солнечного ветра, проблемы
солнечной энергетики и постепенного замещения невосстанавливаемых источников энергии альтернативными источниками.
Фантастический прогресс удалось осуществить созданием Интернета,
внедрением средств мобильной и космической связи, включая системы GPS
Предисловие
9
и ГЛОНАСС с пространственным разрешением порядка 1 м, без которых уже
немыслимо существование человечества.
Наконец, многообещающе выглядит появление низкораразмерных структур (наноструктур) и материалов на их основе, обладающих уникальными электрическими и магнитными свойствами. В сознании большинства
людей прочно укрепился термин «нанотехнологии», с которыми связывают
научно-технический прогресс человечества.
Несомненно, что содержание учебников и учебных программ, имеющих
отношение к рассматриваемой тематике, должно быть скорректировано с учетом научно-технического прогресса за последние десятилетия. С приходом
в повседневную жизнь результатов этих достижений изменились не только
среда обитания, но также и менталитет и образ мысли homo sapiens. И это
является главным аргументом в пользу необходимости обновления программ
и учебной литературы.
Кроме того, остается широкое поле деятельности и для совершенствования
методик и привнесения новых подходов в изложение таких традиционно
трудных для понимания тем, как структура поля и распределение зарядов
в проводнике с током, сторонние силы и ЭДС, напряженность и индукция
магнитного поля, использование формализма молекулярных токов и магнитных зарядов, ферромагнетизм и обменное взаимодействие, электропроводность твердых тел и зонная теория, контактные явления, сверхпроводимость
(включая высокотемпературную), магнитные и электрические свойства низкоразмерных структур и пр.
Эти и другие проблемы можно с успехом решать на основе простого
математического аппарата без ущерба для «базового содержания», если,
например, использовать многоуровневую концепцию изложения материала
так, как нами это было сделано в курсах «Механика», «Физматлит», 2011
(авторы В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев) и «Оптика»,
«Физматлит», 2010 (В. А. Алешкевич), входящих в серию «Университетский
курс общей физики». При таком подходе учащемуся предоставляется
возможность приобрести современные знания и значительно расширить свой
кругозор без чтения специальной, подчас сложной, литературы.
Учебник является третьей книгой серии «Университетский курс общей
физики» и предназначен для студентов физических специальностей вузов.
Он соответствует новым программам, разработанным на физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова,
и отражает современные тенденции и технологии физического образования.
Учебник написан в виде 25 тематических лекций. Каждая лекция содержит не только материал первого (базового) уровня, соответствующий
программе курса, но и материал второго (продвинутого) уровня, отражающий
современные достижения в области электромагнетизма.
Материал первого уровня излагается почти в полном объеме в лекционной
аудитории и закрепляется на семинарских и лабораторных занятиях и при
самостоятельной работе.
Студенты, усвоившие этот материал, имеют возможность получить дополнительные сведения, расширяющие их знания в данной области, прочитав
материал второго уровня, адаптированный к потребностям излагаемого курса.
10
Предисловие
Конечно, перечень этих достижений является далеко не полным, а скорее
иллюстративным и отражает субъективное мнение автора.
Лекции сгруппированы в 10 разделов: заряды и электрическое поле (лекции 1–3); металлы и диэлектрики в электростатическом поле (лекции 4–7);
постоянный электрический ток (лекции 8–9); магнитное взаимодействие токов и зарядов (лекции 10–12); магнетики (лекции 13–15); электромагнитное
поле, уравнения Максвелла (лекции 16–17); электромагнитные колебания
и волны (лекции 18–20); зонная теория электропроводности (лекции 21–22);
полупроводники, контактные явления (лекции 23–24); полупроводниковые
устройства, низкоразмерные структуры (лекция 25).
В заключении приведены некоторые данные и Санитарные нормы, принятые в Российской федерации и опубликованные Центром электромагнитной
безопасности при Институте биофизики Министерства здравоохранения РФ.
Книга иллюстрирована, наряду с черно-белыми, большим числом цветных
фотографий и рисунков, способствующих более наглядному восприятию изучаемых явлений.
С глубокой признательностью автор отмечает поддержку коллег при работе над рукописью учебника.
Весьма плодотворными оказались консультации и советы, которые автор имел возможность получить при общении с сотрудниками физического
факультета МГУ им. М. В. Ломоносова доцентом Захаровым В. И., профессором Звягиным И. П., профессором Капитоновым И. М., профессором Петруниным Г. И., профессором Струковым Б. А. а также профессором, заведующим
кафедрой общей и теоретической физики Костромского государственного
университета им. Н. А. Некрасова Белкиным П. Н, и доцентом Российского
государственного университета нефти и газа Днепровской Т. С.
В книге использованы фотографии и даны описания многих лекционных
экспериментов, которые были поставлены несколькими поколениями сотрудников кафедры общей физики физического факультета МГУ.
Написанию книги во многом способствовала техническая поддержка, оказанная Дзедрович А. Н., преподавателями кафедры общей физики доцентами Кокшаровым Ю. А., Нифановым А. С. и старшим преподавателем Трубицыным Б. В.
Считаю своим приятным долгом выразить благодарность коллективу кафедры общей и теоретической физики и МПФ Рязанского государственного
университета им. С. А. Есенина и ее заведующему, заслуженному деятелю
науки и техники РФ профессору Степанову В. А., и профессору Московского
государственного педагогического университета А. Н. Мансурову, взявшими
на себя труд рецензирования рукописи и давшими полезные советы по содержанию книги и методике изложения отдельных вопросов.
Автор с теплотой и непреходящей благодарностью вспоминает замечательного педагога, доцента физического факультета МГУ Петерсона В. К.,
при общении с которым невольно поражали как глубина его знания физики,
и в особенности электромагнетизма, так и неизменная готовность, с которой
этот доброжелательный человек готов был поделиться всеми тонкостями
предмета со своими молодыми коллегами. Некоторые его мысли и подходы
нашли отражение в этом учебнике.
РАЗДЕЛ
1
ЗАРЯДЫ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
ЛЕКЦИЯ 1
В этом разделе обсудим некоторые фундаментальные понятия теории
электромагнетизма, такие, как заряд, электрическое поле, потенциал, энергия
поля, электромагнитное взаимодействие и его место среди четырех известных
фундаментальных взаимодействий и др., а также познакомимся с важнейшими экспериментальными фактами, на которых базируются эти понятия.
Целью изложения будет получение важнейших уравнений для электрического
поля в локальной (дифференциальной) форме.
Электрический заряд. Понятие электрического заряда является одним
из самых фундаментальных понятий в современной науке. Вместе с тем
подобно массе, силе, температуре и др., это понятие является одним из
наиболее сложных и трудноопределимых. Попытаемся ответить на вопрос —
что же такое электрический заряд?
После открытия И. Ньютоном в 1666 г. закона всемирного тяготения стало
очевидно, что заметные гравитационные силы возникают лишь при участии
астрономических объектов. Гравитационное взаимодействие обычных тел на
Земле ничтожно мало.
Между тем еще в античные времена древним грекам было известно явление электростатического притяжения и отталкивания. Они знали, например,
что если потереть янтарь шерстью или стекло шелком, то в обоих случаях
после разъединения трущихся поверхностей между телами возникают силы
притяжения.
Возникновение этих сил приписывают появлению особого (наэлектризованного) состояния взаимодействующих предметов. Само это состояние
характеризуется величиной электрического заряда, появившегося на наэлектризованных телах.
При помощи наэлектризованных предметов можно передать свойство воздействовать друг на друга и другим предметам, т. е. их зарядить. Если, например, прикоснуться наэлектризованным янтарем к подвешенным бумажным лепесткам, то легкие лепестки будет отталкиваться друг от друга. Аналогично
будут отталкиваться и лепестки, к которым прикоснулись наэлектризованной
стеклянной палочкой. А вот лепестки, один из которых заряжен янтарной,
а другой стеклянной палочками, будут притягиваться друг к другу.
В 1749 г. американский государственный деятель и ученый Б. Франклин
высказал гипотезу, что электричество представляет собой своеобразную материальную субстанцию. В работах Франклина впервые появляются термины:
заряд, разряд, положительный заряд, отрицательный заряд, конденсатор, батарея, частицы электричества. Притяжение или отталкивание, наблюдавшиеся еще древними греками, являются следствием существования в природе
двух видов электрических зарядов — положительных и отрицательных.
12
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Заряды одного сорта (одноименные) отталкиваются, а заряды разных
сортов (разноименные) — притягиваются. Какой сорт зарядов считать положительным, а какой отрицательным — дело соглашения.
Рассуждения Франклина сводились к тому, что если удалить часть отрицательно заряженных частиц (получивших название «электрон» от греч.
«электрон» — янтарь) из вещества, то оно станет положительно заряженным,
поскольку в нормальном состоянии вещество электрически нейтрально. Если
же к веществу в нормальном состоянии добавить дополнительные электроны, то оно
приобретет отрицательный заряд.
Поэтому исторически сложилось так,
что заряд электрона считают отрицатель1
ным, а заряд протона — положительным.
2
В 1785 г. Ш. Кулоном были проведены
знаменитые опыты с крутильными весами,
с помощью которых он исследовал взаимодействие заряженных металлических
шариков (рис. 1.1). Угол закручивания
Рис. 1.1
кварцевой нити 1, к которой подвешивалось коромысло с двумя шариками 2, был
пропорционален силе взаимодействия заряженных шариков. Им было установлено, что подобно закону всемирного тяготения, сила взаимодействия убывает
обратно пропорционально квадрату расстояния между шариками.
Таким образом, если частицы взаимодействуют друг с другом с силами,
которые уменьшаются с увеличением расстояния, но при этом эти силы
во много раз превышают силы всемирного тяготения, то говорят, что эти частицы имеют электрический заряд. Сами частицы называются заряженными.
Отсутствие заряда у частицы означает, что подобных взаимодействий она не
обнаруживает.
Взаимодействие между заряженными частицами носят название электромагнитного взаимодействия. Электрический заряд определяет интенсивность электромагнитных взаимодействий подобно тому, как масса определяет интенсивность гравитационных взаимодействий.
Элементарный электрический заряд. В 1801 г. немецкий физик и химик И. Риттель выдвинул идею о дискретной структуре электричества.
Дальнейшее развитие эта идея получила в работах его соотечественника
В. Вебера, который также разрабатывал гипотезу о дискретности электрического заряда. В своих работах (1846 г.) он вводит понятие атома электричества.
На пути к пониманию дискретности электрического заряда важной вехой является открытие частицы — электрона, сделанное в 1897 г. английским
физиком Дж. Томсоном. Он обнаружил, что катодные лучи отклонялись при
действии отдельно электрического и магнитного полей. Проведя ряд измерений, Томсон выяснил, что эти лучи представляют собой поток частиц
конечной массы, движущихся со скоростью, гораздо меньшей скорости света.
За это выдающееся открытие Томсон в 1906 г. был удостоен Нобелевской
премии по физике.
Лекция 1
13
После открытия электрона пришло понимание, что эта частица является
фундаментальной составляющей всего материального мира. Соответственно,
встал вопрос об изучении ее свойств.
Опыт Милликена. В 1913 г. американским физиком Р. Милликеном был
измерен заряд электрона. Им изучалось поведение заряженных капель масла
в электрическом поле конденсатора.
На рис. 1.2 показана схема его установки. При распылении пульверизатором (как и при трении) капли масла заряжались. Эти капли через отверстие
попадали в пространство между обкладками плоского конденсатора. На его
обкладки подавалось постоянное напряжение от мощной батареи. Капли
могли облучаться рентгеновскими лучами для ионизации молекул масла, т. е.
дополнительного увеличения заряда капли.
Рис. 1.2
Измеряя с помощью зрительной трубы скорость падения капель при
разомкнутом ключе, он определял их размер и массу. Затем включалось
электрическое поле, позволяющее уравновесить силу тяжести и удерживать
часть капель в подвешенном состоянии. Из условия равновесия вычислялся
заряд капли.
Повторяя многократно в течение пяти лет этот трудоемкий опыт, Милликен установил, что заряды капель кратны одной и той же величине . Наградой за титанический труд стала Нобелевская премия по физике за 1923 г.
Согласно современным данным, заряд электрона неделим и равен
19 Кл.
1,60217656535 10
С тех пор модуль заряда электрона считается элементарным электрическим зарядом. Эта величина служит единицей измерения электрического заряда других элементарных частиц. Масса электрона равна
9,1093829140 10 31 кг. Электрон неделим и бесструктурен (как минимум
до расстояний 10 17 см). Он обладает собственным механическим моментом,
или спином, равным 2.
Структура протона и нейтрона. Следующей важной вехой явилось
открытие протона британским физиком Э. Резерфордом в 1919 г. При исследовании бомбардировки атомов азота высокоэнергетическими -частицами
Резерфорд пришел к выводу, что ядро атома азота распадается вследствие
громадных сил, развивающихся при столкновении с быстрой -частицей.
14
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Освобождающиеся ядра атома водорода были названы Резерфордом протонами (от греч. «
» — первый, основной).
Отсутствие отклонений в электрическом поле пучков нейтральных атомов
протона по абсолютной
цезия и калия позволило сделать вывод, что заряд
величине совпадает с зарядом электрона с относительной точностью
10 21
Протон — стабильная элементарная частица с массой
1836 и спи2. Он участвует в термоядерных реакциях, являющихся основным
ном
источником энергии, генерируемой звездами, и в реакциях протон-протонного
цикла, происходящих на Солнце.
Однако протон (и нейтрон) обладает сложной внутренней структурой.
Исторически первым указанием на сложную внутреннюю структуру протона
и нейтрона, называемых нуклонами, явились результаты измерения их магнитных моментов, которые отличались от предсказанных теорией значений
для точечных частиц.
Структуру нуклона исследовали с помощью электронных пучков с энергией вплоть до 20 ГэВ. Для изучения распределения заряда и магнитного
момента в протоне обычно используют мишени из жидкого водорода и измеряют сечение упругого рассеяния электронов. Поскольку не существует
нейтронных мишеней, для исследования нейтронов используют мишени из
дейтерия. При этом необходимо отделить вклад протонов в процесс рассеяния. Это увеличивает погрешность измерений.
Измерения, проведенные на самом длинном в мире (длина 3,2 км) линейном ускорителе SLAC (Stanford Linear Accelerator Center,
США), показали, что объемная плотность заряда протона убывает при удалении от центра
протона по экспоненциальному закону
где
0
3
0 0 ,
фм3 ,
1 фм фемтометр
Рис. 1.3
0
На рис. 1.3 показано распределение величины
рассчитать средний квадрат радиуса протона по формуле
0,23 фм,
10
42 .
2
4
2
2
0
4
2
15
м
Оно позволяет
0
2
0,86 фм.
Совсем другое распределение величины 42 для нейтрона. В нейтроне, имеющем такой же радиус, как и у протона, центральная область
заряжена положительно, а перифирийная — отрицательно.
Расчет показывает, что радиус протона
Лекция 1
15
Эти эксперименты показали, что в области больших энергий рассеяние электронов происходит на каких-то элементах внутренней структуры,
имеющих значительно меньшие размеры, чем размер нуклона. Выдающийся американский физик Р. Фейнман (Нобелевский лауреат, 1965 г.) назвал
эти элементы «партонами» (частями адронов). В дальнейшем партоны стали
отождествлять с кварками (см. ниже).
По современным представлениям нуклон состоит из кварков, взаимодействующих посредством обмена квантами сильного взаимодействия —
глюонами.
Протон состоит из из трех кварков (один -кварк с зарядом 13 и два
-кварка с зарядом 23), и его полный заряд равен +1. Нейтрон состоит из
двух -кварков и одного -кварка, и его полный заряд равен нулю.
Нейтрон имеет массу на 0,1378 % больше массы протона и спин, равный
2. Электрический заряд нейтрона равен нулю. Это подтверждается
прямыми измерениями заряда по отклонению пучка нейтронов в сильных
электрических полях, показавшими, что заряд нейтрона по крайней мере
10 20 . Косвенные данные дают оценку 10 22 .
Свободный нейтрон — нестабильная частица, распадающаяся на протон (), электрон ( ) и электронное антинейтрино ( : .
Время жизни нейтрона составляет (917 14) с, т. е. около 15 мин. В веществе
в свободном виде нейтроны существуют еще меньше вследствие сильного
поглощения их ядрами. Поэтому они возникают в природе или получаются
в лаборатории только в результате ядерных реакций.
Существование в ядре нейтральных частиц предсказали в 1930 г. советские физики В. Амбарцумян и Д. Иваненко, которые показали, что электроны, вылетающие из ядра при бета-распаде, рождаются в момент распада и что
кроме протонов в ядре должны присутствовать некие нейтральные частицы.
Позднее, в 1932 г., нейтрон был открыт английским физиком Дж. Чадвиком,
за что ему была присуждена Нобелевская премия по физике в 1935 г. В том
же 1932 г. Д. Иваненко и затем В. Гейзенберг предположили, что атомное
ядро состоит из протонов и нейтронов.
Гипотеза о том, что подверженные сильному взаимодействию адроны
(от греч. «Æ » — крупный, массивный; термин предложен советским физиком Л. Окунем в 1962 г.) построены из специфических субъединиц (кварков),
была впервые выдвинута М. Гелл-Манном и, независимо от него,
Дж. Цвейгом в 1964 г. Эта гипотеза оказалась исключительно плодотворной.
В частности, по мере открытия новых частиц выяснилось, что каждый
новый адрон удачно вписывался в кварковую конструкцию (если не считать
добавления новых кварков). Попытки обойтись без кварков наталкиваются на
трудности с описанием результатов многочисленных экспериментов, которые
очень естественно описываются в кварковой модели.
Согласно современным представлениям кварк — фундаментальная частица, обладающая электрическим зарядом, кратным
3, и не наблюдающаяся
в свободном состоянии. Кварки являются точечными частицами вплоть
до масштаба примерно 0,5 10 4 фм, что примерно в 20 тысяч раз меньше
размера протона. Из кварков состоят адроны, в частности, протон и нейтрон.
16
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
В настоящее время известно 6 разных «сортов» (ароматов) кварков. Кроме того, кварки обладают и дополнительной внутренней характеристикой,
называемой «цвет». Каждому кварку соответствует антикварк с противоположными квантовыми числами.
Кварки участвуют в сильных, слабых и электромагнитных взаимодействиях. Сильные взаимодействия (обмен глюонами) могут изменять цвет кварка, но не меняют его аромат. Слабые взаимодействия, наоборот, не меняют
цвет, но могут менять аромат.
Кварки существуют только в связанном состоянии. Явление, ответственное за неразрывность кварковых связей, называется конфайнмент. Оно вызвано тем, что силы взаимодействия кварков, обусловленные обменом глюонами,
возрастают при удалении кварков друг от друга. Поэтому разлететься могут
лишь «бесцветные» комбинации кварков — адроны.
Кварковая теория предсказывает, что наличие субструктуры у адронов
должно привести при столкновениях к появлению струй — элементарных частиц, летящих в одном направлении в узком конусе. Такие адронные струи
действительно наблюдались в эксперименте.
Завершая обсуждение этой темы, отметим, что в настоящее время известно более 200 элементарных частиц. Большая часть из этих частиц нестабильна и распадается за короткое время на другие частицы. Стабильными
являются протон, электрон и их античастицы — позитрон и антипротон. Первые две из них ответственны за все явления, изучаемые в этом курсе. Электрический заряд ионов или заряженных тел дискретен: их заряд составляет
целое кратное от элементарного заряда, равного абсолютной величине заряда
электрона.
Сохранение заряда. Это один из фундаментальных законов природы,
состоящий в том, что алгебраическая сумма электрических зарядов замкнутой (электрически изолированной) системы остается неизменной.
При электризации тел происходит лишь перераспределение зарядов в пространстве, однако полный заряд не изменяется.
В физике элементарных частиц одни частицы исчезают, другие рождаются, однако полный заряд по-прежнему неизменен. Наиболее ярким подтверждением сказанному является обратный аннигиляции процесс, в котором
возникают пары частица–античастица (реально или виртуально). Чтобы родилась пара частиц с массой каждая, необходимо затратить энергию, равную
или превышающую величину 22 .
Рождение электрон-позитронных пар гамма-квантами в камере Вильсона,
помещенной в магнитное поле для разделения треков электрона и позитрона,
впервые наблюдали знаменитые супруги Ирен и Фредерик Жолио Кюри
в 1933 г. (Нобелевская премия по химии, 1935 г.) и П. Блэккет, получивший
Нобелевскую премию по физике за 1948 г.
Важно отметить, что для рождения пары необходимо выполнение и закона сохранения импульса. Поскольку суммарный импульс пары равен нулю,
а импульс гамма-кванта отличен от нуля, то в процессах образования пары
принимает участие и электромагнитное поле ядер, находящихся в камере
Вильсона, которое также обладает импульсом.
Лекция 1
17
Электризация тел. Для демонстрации многочисленных электростатических явлений тела электризуют посредством трения. При электризации тел
важен тесный контакт между ними, что достигается с помощью трения. Так
как поверхности тел никогда не бывают идеально гладкими, то контакт между
телами устанавливается только на небольших участках поверхностей. При
трении тел друг о друга число участков с тесным контактом увеличивается
и тем самым увеличивается общее число заряженных частиц, переходящих
от одного тела к другому.
В результате имеет место пространственное разделение зарядов. После
разведения трущихся тел на них появляются заряды противоположного знака.
Опыт показывает, что наэлектризовать таким способом можно лишь тогда,
когда хотя бы одним из контактирующих тел является диэлектрик. Металлы
же после их разведения не обнаруживают какого-либо заряда. Почему же так
происходит?
Основное отличие металлов от диэлектриков (более подробно об этом
идет речь в лекциях 21 и 22) состоит в том, что в металлах имеется
большое число электронов проводимости, свободно перемещающихся внутри
кристаллической решетки. Эти электроны имеют дискретные значения энергии, которые составляют электронный энергетический спектр. Максимальное
значение энергии электрона вблизи абсолютного нуля температуры называется энергией Ферми. Каждый металл имеет свое собственное значение энергии
Ферми. Для выхода электрона за поверхность металла необходимо затратить
энергию (совершить работу), называемую работой выхода. Эта работа равна
разности энергии электрона, находящегося вблизи поверхности (вне металла),
и энергии Ферми.
Контакт двух тел осуществляется при конечном расстоянии между крайними ионами обеих кристаллических решеток (порядка периода решетки).
Этого оказывается достаточно, чтобы электроны перешли из металла с меньшей работой выхода в металл с большей работой выхода. Перемещения электронов при этом не превышают размеров межатомных расстояний (10 8 см).
Равновесие наступает при некотором разделении зарядов, при котором появившееся контактное электрическое поле начнет возвращать электроны обратно и, тем самым уравновесит процесс перехода.
Таким образом, пока есть контакт, проводники будут разноименно заряжены, при этом их заряды располагаются в непосредственной близости
к поверхностям контакта. Эти поверхности будут образовывать своеобразный
конденсатор, между обкладками которого разность потенциалов приблизительно равна разности энергий Ферми, деленной на заряд электрона.
При разведении проводников нельзя разорвать одновременно контакт
вдоль всей поверхности: площадь контакта можно только быстро уменьшать.
Это значит, что уменьшается площадь пластин «контактного конденсатора».
Электроны, которые могут свободно двигаться вдоль поверхности, станут возвращаться обратно в металл с меньшей работой выхода, и заряд конденсатора
уменьшится. Когда площадь контакта уменьшится до нуля, металлы будут не
заряжены.
При контакте металла с диэлектриком и последующем их разъединении
тела становятся заряженными. Если, например, по металлическому стержню,
18
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
находящемуся на изолированной подставке, побить кусочком меха, то стержень приобретет положительный заряд. Это происходит вследствие того, что
связь электронов с атомами диэлектрика (меха) сильнее, чем с атомами
металла. В результате электроны покидают металл и удерживаются диэлектриком.
Еще сильнее выражена электризация при тесном контакте разных диэлектриков. Чем сильнее различаются связи электронов с атомами обоих веществ
и чем больше площадь контакта, тем сильнее электризуются диэлектрики.
Фундаментальные взаимодействия в природе. В настоящее время известно 4 вида фундаментальных взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Первые два типа взаимодействий были
известны к началу ХХ в.
Исторически первым следует считать гравитационное взаимодействие
(XVII в.), когда был сформулирован закон всемирного тяготения.
После открытия атомной структуры вещества стало понятно, что самые
разнообразные силы — упругости, трения и др. — обусловленывзаимодействием зарядов, входящих в состав атомов. Это взаимодействие получило название электромагнитного взаимодействия. Оно на много порядков превышает гравитационное взаимодействие. Например, сила электростатического
отталкивания двух электронов приблизительно в 1043 раз больше их силы
гравитационного притяжения.
После того как были открыты протон и нейтрон, возник вопрос о силах,
удерживающих нуклоны в ядре. Для объяснения этого феномена было постулировано существование сильного взаимодействия.
Однако в дальнейшем оказалось, что и этого недостаточно. В частности,
было непонятно, что заставляет распадаться свободный нейтрон. Тогда было
постулировано существование слабого взаимодействия.
Теория электромагнитного взаимодействия была создана к 1864 г. выдающимся английским физиком Дж. Максвеллом. Изучение этой теории
и составляет главную цель излагаемого раздела физики.
В 1915 г. А. Эйнштейном была сформулирована общая теория относительности, описывающая гравитационное взаимодействие. Вскоре появилась идея
объединить эти два вида взаимодействий в рамках единой теории. Однако
попытки создания такой теории не увенчались успехом.
Во второй половине XX столетия задача построения единой теории осложнилась еще и необходимостью внесения в нее слабого и сильного взаимодействий. В конце 60-х гг. того же столетия С. Вайнбергом, Ш. Глэшоу,
А. Саламом (Нобелевская премия по физике 1979 г.) была создана теория
электрослабого взаимодействия кварков и лептонов, объединившая электромагнитное и слабое взаимодействия. В их теории электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством обмена фотонами между взаимодействующими частицами, а слабое взаимодействие — тяжелыми промежуточными векторными Z-бозонами. Таким образом, механизм обоих взаимодействий
одинаков.
В 80-е гг. прошлого столетия была сформулирована теория сильного взаимодействия, получившая название квантовой хромодинамики. Это квантовополевая теория сильного взаимодействия кварков и глюонов, построенная
Лекция 1
19
по образу квантовой электродинамики на основе «цветовой» калибровочной симметрии. Термин хромодинамика обусловлен тем постулатом, что
кварк обладает квантовым числом, условно называемым цветовым зарядом,
или цветом.
На основе теории электрослабого взаимодействия и квантовой хромодинамики была построена так называемая Стандартная модель элементарных
частиц, описывающая электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия.
Стандартная модель состоит из следующих положений.
Все вещество состоит из 24 фундаментальных частиц-фермионов: 6 лептонов (электрон, мюон, тау-лептон, электронное нейтрино, мюонное нейтрино
и тау-нейтрино), 6 кварков (, , , , , ) и 12 соответствующих им
античастиц.
Кварки участвуют в сильных, слабых и электромагнитных взаимодействиях; заряженные лептоны (электрон, мюон, тау-лептон) — в слабых и электромагнитных; нейтрино — только в слабых взаимодействиях.
Все три типа взаимодействий возникают как следствие постулата, что наш
мир симметричен относительно трех типов калибровочных преобразований.
Частицами-переносчиками взаимодействий являются: 8 глюонов для сильного взаимодействия (группа симметрии SU(3)); 3 тяжелых калибровочных
бозона (W , W , Z0 для слабого взаимодействия (группа симметрии SU(2))
и фотон для электромагнитного взаимодействия (группа симметрии U(1)).
Экспериментальная проверка Стандартной модели заключается в обнаружении предсказанных ею частиц и их свойств. В настоящий момент открыты все элементарные частицы Стандартной модели, за исключением бозона
Хиггса. Его поиски продолжаются в экспериментах на Большом адронном
коллайдере 1). О нем речь пойдет в следующих лекциях.
Подытоживая, можно сказать, что четыре вида фундаментальных взаимодействий описываются общей теорией относительности и Стандартной
моделью. Их объединения пока достичь не удалось из-за трудностей создания
квантовой теории гравитации.
Ведутся поиски других типов фундаментальных взаимодействий, как в явлениях микромира, так и в космических масштабах, однако новых видов
фундаментальных взаимодействий пока не обнаружено.
1)
В 2012 г. на Большом адронном коллайдере обнаружена частица, которая по своим
свойствам похожа на бозон Хиггса.
ЛЕКЦИЯ 2
Закон Кулона. В результате своих опытов с крутильными весами Кулон
установил, что два точечных неподвижных заряда 1 и 2 , находящиеся
в вакууме на расстоянии друг от друга, взаимодействуют с силой ,
направленной вдоль прямой, соединяющей эти заряды, и равной
2
,
(2.1)
2
где — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбранной системы
единиц. При этом, одноименные заряды будут отталкиваться друг от
друга, а разноименные — притягиваться.
Это утверждение (выделенное курсивом) получило название закона Кулона, являющегося основным законом электростатики. В нем под точечными
зарядами понимают два заряженных тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними.
В системе единиц СИ заряд является производной величиной от силы
электрического тока : . За единицу заряда 1 Кл принимается заряд,
который переносится через поперечное сечение проводника электрическим
током силой 1 А за время 1 с. Надо отметить, что ток силой 1 А это
сравнительно небольшая величина, в то время как заряд 1 Кл с точки зрения
электростатики — громадная величина. Достаточно упомянуть, что полный
отрицательный заряд Земли оценивается
в полмиллиона кулонов.
Если гипотетически представить, что на
расстоянии
1 м удалось бы расположить два заряда 1
2 =1 Кл, то сила взаимодействия между ними состави9 109 Н.
ла бы гигантскую величину,
Поэтому коэффициент пропорциональности
9 109 Н м2 Кл2 . Для удобства, однако, этот коэффициент записывают в виде
1
Рис. 2.1
где 0
1Ф
8,85 10
2
12 Фм — электрическая
1 Кл
(1 фарад).
1Н м
1
40
,
(2.2)
постоянная, единица емкости
Формула (2.1) представляет закон Кулона в скалярном виде. Для дальнейшего изложения потребуется выражение для закона Кулона в векторном виде.
Это можно легко сделать, если задать положения зарядов соответствующими
радиусами-векторами 1 и 2 (рис. 2.1). Тогда силы, действующие на каждый
21
Лекция 2
из зарядов, будут равны
12
1 2
2 1 3
2
1
21
(2.3)
На рисунке для определенности изображены силы отталкивания.
Принцип суперпозиции. Опыт показывает, что взаимодействие между
двумя точечными зарядами не изменяется при внесении третьего точечного заряда, также взаимодействующего с первыми двумя. Это утверждение получило название принцип суперпозиции.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать силу взаимодействия заряженных тел произвольных форм и размеров. В качестве иллюстрации рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть имеется два одинаковых разноименных заряда и ,
расположенных на небольшом расстоянии друг от друга, и положительный
точечный заряд 0 , расположенный на расстоянии , так, как это изображено на рис. 2.2 а. Требуется вычислить силу, с которой система двух близкорасположенных одинаковых разноименных зарядов (электрический диполь)
будет действовать на заряд 0 .
Рис. 2.2
Введем вектор , направленный от отрицательного заряда к положительному заряду, вектор дипольного момента и радиус-вектор , направленный из середины вектора в точку нахождения заряда 0 .
Рассмотрим вначале частный случай, когда (рис. 2.2 б). На заряд 0
со стороны положительного заряда будет действовать сила отталкивания ,
22
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
а со стороны отрицательного заряда — сила притяжения . Поэтому полная
сила будет равна
1
0
2
2
а в векторном виде
1
2
2
2 0
3
0
2
3
,
0
(2.4)
3
(рис. 2.2 в). Тогда
Теперь переместим заряд 0 так, чтобы
2
0 , полная сила с учетом малости угла
2 будет равна
0
0
2
,
3
3
а в векторном виде
3 0
(2.5)
В общем случае, когда векторы и
составляют некоторый угол
(ситуация г), вектор дипольного момента можно представить в виде суммы
и, используя (2.4) и (2.5), записать
2
Принимая во внимание, что
окончательно получим
3
2
0
3
,
0
3
2 ,
0
(2.6)
3
Пример 2. Пусть имеется кольцо радиусом , по которому равномерно
распределен положительный заряд , и точечный положительный заряд ,
расположенный на оси кольца на произвольном расстоянии от его плоскости
(рис. 2.3). Необходимо вычислить силу, действующую на заряд 0 . Для этого
5
dq
+
+
+
+
+
R
+
r1
+
+
α
+
q
+
+
r
q0
dF
+
+
+
+
d F1
+
Рис. 2.3
мысленно разобьем кольцо на элементы длиной . Каждый такой элемент
будет иметь заряд
, который будет действовать на заряд 0 с силой
2
0
1 2 . Проекция этой силы на ось кольца 1
1 1 .
1
23
Лекция 2
Полная сила, как это следует из симметрии задачи, будет направлена вдоль
оси кольца и равна
0
0
12 1
0
13
2
2 32
0
(2.7)
График зависимости этой силы от расстояния до кольца изображен на
рис. 2.4. По мере удаления от плоскости кольца сила отталкивания вначале
монотонно возрастает, достигая максимального значения М , а затем моносила взаимодействия будет описытонно убывает. На расстояниях
ваться законом Кулона, поскольку заряженное кольцо для таких расстояний
можно рассматривать как точечный заряд.
Рис. 2.4
Пример 3. Заменим кольцо равномерно заряженным круглым диском
с тем же зарядом и радиусом и вычислим силу, действующую на заряд 0 .
Разобьем мысленно диск на кольца с радиусом и толщиной (рис. 2.5 а).
Рис. 2.5
Поскольку заряд кольца будет равен
с (2.7) сила
2
2 32 0
2
0
2
2
2 32 0
2
, то в соответствии
2
2
2
1
2
2
0
(2.8)
24
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
График зависимости (2.8) изображен на рис. 2.5 б. На расстояниях
сила практически не зависит от расстояния и равна
2
М
2
0
,
20 0
(2.9)
где ! 2 — поверхностная плотность заряда (см. далее). Для таких
расстояний диск может интерпретироваться как бесконечно большая плоскость, имеющая постоянную поверхностную плотность заряда.
На расстояниях диск «превращается» в материальную точку, и сила
взаимодействия будет такой же, как и для точечных зарядов, что следует из
формулы (2.8).
Пример 4. Заменим кольцо равномерно заряженной сферой с тем же зарядом и радиусом и рассчитаем, как и раньше, силу взаимодействия (рис. 2.6).
Для этого мысленно разделим сферу на элементарные заряженные кольца.
Рис. 2.6
Если ввести угол ", то радиус кольца будет равен
", расстояние до
кольца
", площадь его поверхности # 2 " 2
2
$ ", а его заряд
# . Тогда, в соответствии с (2.7),
4 2
сила, действующая на заряд со стороны элементарного кольца,
2
2 32
0
4
2
0
2 2 32
Полная сила вычисляется интегрированием и равна
2
2 32
0
0
2 2 2
32
0
0
2
(2.10)
Таким образом, сила взаимодействия между равномерно заряженной
сферой и точечным зарядом будет такой же, как и в случае, когда заряд
сферы помещен в ее центр.
Совершенно иной результат будет, если заряд 0 поместить внутрь заряженной сферы. Это следует из того очевидного факта, что в центре сферы
эта сила вовсе будет равна нулю. Подобно тому, как это было сделано
выше, можно провести вычисления и придти к важному результату — сила,
действующая на точечный заряд, в любой точке внутри равномерно
заряженной сферы будет равна нулю.
Лекция 2
25
В заключение отметим, что сила, действующая на заряд 0 , находящийся
снаружи вблизи поверхности сферы, зависит от поверхностной плотности
заряда !
и равна
4 2
2 0
0 0
Электроскоп. Для обнаружения электрического заряда какого-либо предмета применяется электроскоп (от греч. «skopeo» — смотрю). Электроскоп
как физический прибор сыграл важную роль на ранних этапах изучения
электричества.
Первый электроскоп изобрел итальянский физик А. Вольта. Его прибор состоял из металлического стержня, пропущенного через каучуковую
пробку, которая закрывала стеклянную бутылку. Верхний конец металлического стержня оканчивался металлическим шариком, а к нижнему концу,
находящемуся внутри бутылки, привешивались 2 соломинки.
Современный электроскоп состоит из металлического стержня — электрода и подвешенных к нему двух листочков фольги.
(рис. 2.7). Для обнаружения слабых зарядов
на предметах к электроду иногда подвешиваются тонкие золотые листочки.
При прикосновении к электроду заряженным предметом заряды от предмета стекают
через электрод на листочки фольги, листочки
оказываются одноименно заряженными и поэтому отталкиваются друг от друга. Чем
больше заряд, перешедший на электроскоп,
тем больше сила отталкивания листочков и,
соответственно, угол между ними.
Если к заряженному электроскопу поднести тело, имеющее заряд противоположного знака, то угол между его листочками
начнет уменьшаться. Следовательно, электроРис. 2.7
скоп позволяет различать знак заряда наэлектризованного тела.
Для того чтобы листочки фольги не колебались от движения воздуха,
их обычно помещают в стеклянный сосуд. Из сосуда при этом может быть
откачан воздух для предотвращения быстрой утечки заряда с фольги.
Электромагнитное поле. Как отмечалось в предыдущей лекции, электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством обмена фотонами
между взаимодействующими частицами. Следовательно, в окружающем заряды пространстве существует особая форма материи, получившая название
электромагнитное поле (ЭМП)
ЭМП — трудноопределимое первичное понятие. Это поле является переносчиком взаимодействия и оказывает на заряженные тела силовое воздействие.
26
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
В вакууме оно задается во всех точках пространства парой векторных
величин: векторами напряженности электрического поля и магнитной индукцией , которые определяют силы, действующие со стороны поля на неподвижные и движущиеся заряженные частицы. В среде ЭМП характеризуется дополнительно двумя величинами: вектором электрической индукции
и вектором напряженности магнитного поля .
Эти названия так сложились исторически, хотя, с точки зрения физического смысла, названия «напряженность магнитного поля» и «индукция»
следовало бы поменять местами. Боле подробно об этом будет сказано в последующих лекциях.
Таким образом, электромагнитное поле включает в себя две составляющие: электрическое и магнитное поля.
Электрическое поле — это составляющая ЭМП, которая характеризуется
воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости.
Магнитное поле — это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на движущуюся заряженную частицу с силой, пропорциональной
заряду частицы и ее скорости.
Напряженность электрического поля. Силовой характеристикой электрического поля является напряженность . Для ее измерения в поле помещают небольшой по величине (пробный) неподвижный положительный
заряд 0 и определяют силу , действующую на него со стороны поля.
Пробный заряд должен быть небольшим, чтобы он не оказывал заметного
действия на заряды, создающие электрическое поле. Эта сила, как видно
из разобранных выше четырех примеров, пропорциональна заряду. Поэтому
напряженность поля в точке, где находится пробный заряд, определяется
как
(2.11)
0
H
В
(В — вольт,
Размерность напряженности в системе СИ %
Кл
м
единица электрического напряжения).
Для графического изображения электрического поля используют линии
электрического поля, или силовые линии — кривые, касательные к которым
в любой точке совпадают по направлению с вектором .
Неподвижные заряды взаимодействуют посредством ЭМП, которое называется электростатическим. Напряженность электростатического поля
в рассмотренных выше четырех примерах получается путем деления силы
в формулах (2.6), (2.7), (2.8) и (2.10) на величину пробного заряда. Линия
электростатического поля направлена от положительного к отрицательному
заряду.
Поле системы зарядов. Для вычисления поля одного точечного заряда
на расстоянии от него воспользуемся формулой (2.3), в которой положим
1 , 2 0 , 12 , 2 1
. В результате получим
3
3
(2.12)
27
Лекция 2
На рис. 2.8 изображены линии поля положительного (а) и отрицательного (б) точечных зарядов. По мере удаления от зарядов напряженность поля
убывает, а плотность линий уменьшается. Если взять небольшую площадку # , перпендикулярную к направлению поля, и расположить ее, например,
сначала на расстоянии , а затем поместить на расстоянии 2, то количество
пересекающих ее силовых линий уменьшится в 4 раза. Именно во столько
раз уменьшится и напряженность поля. Следовательно, плотность линий
(в относительных единицах) пропорциональна величине напряженности
поля.
q
+
−
а
б
−q
в
Рис. 2.8
Структуру силовых линий поля можно визуализировать, если в поле
поместить жидкий изолятор (например, касторовое масло), в который подмешаны мельчайшие диэлектрические частички. Как будет показано далее,
продолговатые частички будут ориентироваться длинной стороной вдоль вектора , образуя цепочки частиц вдоль силовых линий. На рис. 2.8 в показаны
результаты демонстрационного эксперимента по визуализации поля точечного
заряда.
Пользуясь принципом суперпозиции, не составляет труда получить выражение для напряженности поля, создаваемого системой дискретных точечных
зарядов. Если имеется & точечных зарядов , расположенных в точках,
задаваемых радиусами-векторами , то напряженность в точке будет равна
1
3
(2.13)
На рис. 2.9 изображены силовые линии поля системы двух разноименных (а) и одноименных (б) зарядов, рассчитанные по формуле (2.13) и наблюдаемые экспериментально.
Получим выражение для напряженности поля, создаваемого зарядами,
непрерывно распределенными по поверхности и объему заряженных тел.
Для этого необходимо ввести поверхностную ! и объемную плотности
электрического заряда:
!
,
(2.14)
28
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
−
+
+
а
+
б
Рис. 2.9
Здесь — заряд физически малых площадки # или объема
ственно. Тогда поле в точке будет определяться выражением
3
'
3
'
# ,
соответ(2.15)
где интегрирование осуществляется по координатам конца вектора .
На рис. 2.10 изображены линии поля равномерно заряженного диска (а)
и равномерно заряженной сферы (б). Отметим, что вблизи диска и вдали от
его края линии параллельны, а электрическое поле однородно. На больших
расстояниях линии расходятся так же, как и в случае точечного заряда.
Рис. 2.10
29
Лекция 2
Справедливость принципа суперпозиции подтверждается многочисленными экспериментами с высоковольтными разрядами, заряженными частицами в ускорителях, в электротехнике, где напряженность поля может достигать несколько миллионов вольт на метр. Соответствуют экспериментальным данным рассчитанные с использованием принципа суперпозиции энергетические уровни атомов, на орбитах электронов которых напряженность
поля (внутриатомная напряженность) превышает величину 1011 В/м. Вблизи
1022 В/м, однако и для таких гигантских
поверхности тяжелых ядер %
значений напряженности выполняется принцип суперпозиции. Правда, при
таких напряженностях возникают электронно-позитронные пары, влияющие
на характер взаимодействия.
Теорема Гаусса–Остроградского. Поместим в электрическое поле с напряженностью бесконечно малую площадку # так, как это изображено на
рис. 2.11. Введем далее понятие потока вектора напряженности электрического через эту площадку, определяемого как
% #
#
n
,
dS
a
(2.16)
где -единичный вектор, перпендикулярный
E
# .
к площадке,
Если принять, что напряженность поля
пропорциональна плотности линий (числу
линий, пересекающих площадку единичного
Рис. 2.11
сечения, ориентированную перпендикулярно
полю), то поток
пропорционален числу линий, пересекающих площадку # , нормаль к которой составляет с вектором произвольный угол .
Окружим далее точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью
поля этого заряда через замкнутую поверхность. Для
и вычислим поток
этого необходимо вычислить интеграл
3
(2.17)
Если поверхностью является сфера радиуса , в центре которой находится
заряд (рис. 2.12 а), то поток, очевидно, равен
2 # 2 42
(2.18)
0
# 2
Если поверхность произвольна (рис. 2.12 б), то
(# — площадь перпендикулярной вектору площадки, — элемент
телесного угла). Поэтому
3
4
0
4
0
Поскольку поток пропорционален числу линий, пересекающих поверхность,
то ничего нет удивительного в том, что поток не зависит от формы поверхности.
30
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Рис. 2.12
Если имеется система & дискретных точечных зарядов, то в силу принципа суперпозиции полей поток вектора напряженности суммарного электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на
постоянную 0 :
1
(2.19)
0
0
1
Здесь
1
— полный заряд всей системы.
Утверждение, выделенное курсивом, составляет содержание теоремы
Гаусса–Остроградского (далее для краткости теорема Гаусса).
Замечание. Как показывает опыт, эта теорема справедлива не только
для электростатических полей, но и для переменных электрических полей.
Поэтому формула (2.19) имеет фундаментальное значение и является
одним из уравнений Максвелла в интегральной форме применительно
к вакууму.
Она позволяет легко рассчитывать напряженность электрического поля,
создаваемого заряженными телами, обладающими определенной симметрией.
Пример 5. Вычислим напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным по объему плоским слоем толщиной , считая заданной объемную
плотность заряда, ( 0. Пользуясь теоремой Гаусса, можно вычислить напряженность в точках как внутри, так и снаружи слоя, если эти точки далеки
от краев слоя, где поле имеет сложную структуру. Кроме того, расстояние
от наружных точек до поверхности слоя должно быть значительно меньше
его размеров — на малых расстояниях слой создает однородное электрическое
поле.
Направим координатную ось )* перпендикулярно слою, а начало координат поместим в середине слоя (рис. 2.13 а). В силу симметрии задачи
в области * ( 0 вектор будет направлен в положительном направлении
координатной оси, а в области * 0 — в противоположном направлении. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр с площадью основания #
31
Лекция 2
и высотой 2*. Тогда поток
% 2#
%
Соответственно
%
%
1
0
2#
1
0
# 2*,
1
0
*,
# ,
*
1
,
20
*
2;
* ( 2
(2.20а)
(2.20б)
2;
(2.21а)
* ( 2
(2.21б)
Линии поля показаны на рис. 2.13 б. Вблизи слоя поле однородно: силовые линии параллельны координатной оси. Внутри слоя линии нарисовать
не представляется возможным — плотность линий должна увеличиваться по
мере удаления от его середины. Распределение поля на оси )* показано
качественно на рис. 2.13 в. Внутри слоя и на расстояниях, малых по сравнению с его линейными размерами, это распределение описывается формулами (2.21). Напротив, на больших расстояниях напряженность поля убывает
обратно пропорционально квадрату расстояния, как это имеет место в случае
точечного заряда.
Рис. 2.13
Если толщина слоя мала, то можно ввести поверхностную плотность
заряда ! . Тогда слой можно рассматривать как заряженную плоскость,
величина напряженности поля которой
%
20
(2.22а)
На расстояниях *, сравнимых с размерами слоя, формулы (2.21б) и (2.22)
перестают быть справедливыми: поле начинает уменьшаться, а линии поля —
32
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
расходиться. На больших расстояниях поле слоя (плоскости) будет неотличимо от поля точечного заряда.
Пример 6. Рассмотрим структуру поля заряженного плоского конденсатора. Плоским конденсатором называются две параллельные проводящие
пластины (обкладки) площадью # , расстояние между которыми намного
# . Когда на обкладках конденсаменьше линейных размеров пластин:
тора находятся разноименные заряды с поверхностными плотностями ! и ! ,
то напряженность поля в конденсаторе
%
(2.22б)
0
Такое однородное поле при приближении к краям пластин постепенно
искажается. Структура линий поля заряженного конденсатора показана на
рис. 2.14 а. Надо отметить, что вне конденсатора также существует слабое
электрическое поле. Оно тем меньше, чем сильнее неравенство
#.
На рис. 2.14 б структура поля визуализирована.
Рис. 2.14
Пример 7. Пусть имеется равномерно заряженный по всему объему шар
радиусом , заряд которого равен . Пользуясь теоремой Гаусса, определим
напряженность в точке, находящейся на произвольном расстоянии от центра
шара.
Поток через концентричную с шаром сферическую поверхность 1 с радиусом
создается зарядом 3 3 , находящимся внутри сферы
(рис. 2.15 а). Поэтому поток будет равен
Через поверхность
% 42
2 с радиусом (
%
1
0
поток
42
1
3
3
(2.23а)
(2.23б)
0
Из этих выражений напряженность электрического поля получается
равной
1
3
%
,
,
(2.24а)
2
3
2
4 0
40
%
, (
(2.24б)
40 2
33
Лекция 2
Зависимости (2.24) изображены на рис. 2.15 б. Если весь заряд переместить на поверхность шара (случай сферы, равномерно заряженной по
поверхности), то поле внутри шара будет равно нулю, а вне его останется
прежним.
r
q
+
+
+R
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Σ2
+
q
+
+
+
+
+
+
+
r
+
+
+
+
E
Σ1
+
R
б
+
+
а
O
R
r
Рис. 2.15
Отсутствие поля внутри сферы, равномерно заряженной по поверхности
(!
), есть следствие того, что сила взаимодействия точечных зарядов
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если бы эта
сила зависела от расстояния по-другому, то поле было бы равно нулю лишь
в центре сферы.
Чтобы убедиться в этом, вычислим напряженность поля в произвольной
точке + внутри сферы (рис. 2.16), предполагая, что сила взаимодействия
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
dS1
dΩ
+
+
+
dΩ
+
+
P
+
+
+
+
+
+
+
+
r2
r1
+
dS2
+ + + +
+
+
q
Рис. 2.16
12
( — некоторая величина). Проведем через эту точку диаметр
сферы и построим вокруг него два одинаковых элементарных телесных угла . Эти углы будут опираться на элементарные площадки #1 12
и #2 22 , удаленные от рассматриваемой точки на расстояния 1 и 2 .
2 В. А. Алешкевич
34
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Заряды площадок будут равны 1 ! #1 ! 12 и 2 ! #2
! 22 соответственно. Создаваемая этими зарядами напряженность
поля в рассматриваемой точке
%
1
12
2
22
1
1
1
2
(2.25)
Эта напряженность будет равна нулю, если 0. Аналогично можно рассмотреть попарно вклад в напряженность остальных заряженных фрагментов
сферы и прийти к тому же выводу.
Экспериментальные основания закона Кулона. В 1772 г. (за 13 лет
до открытия Кулоном его закона) британский физик и химик Г. Кавендиш
экспериментально установил, что сила взаимодействия точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В своих опытах
он помещал заряженный металлический шар внутрь полой металлической
сферы, образованной двумя полусферами. После приведения в контакт шара
со сферой и последующего удаления полусфер выяснилось, что шар стал
незаряженным.
Если бы в законе взаимодействия зарядов
12 , 0, то поле
внутри проводящего шара равнялось бы нулю при наличии части заряда
внутри шара. Тщательно измеряя потенциал шара (и, следовательно, заряд),
Кавендиш установил, что, по крайней мере,
0,02.
Таким образом, Кавендиш первым экспериментально установил закон
взаимодействия электрических зарядов. Однако он не обнародовал своего
открытия, и оно оставалось долгое время неизвестным. О нем узнали лишь
в середине XIX столетия, после того как работу Кавендиша опубликовал
Максвелл. Однако к этому времени она имела уже чисто исторический
интерес.
Сам Максвелл с большей точностью повторил эксперимент Кавендиша
и установил, что
5 10 5 .
В 1971 г. в усовершенствованных опытах с двумя концентрическими проводящими сферами было установлено, что
10 16 .
Эти эксперименты позволили установить справедливость закона Кулона
в лабораторных условиях ( 1 м).
Для больших расстояний используют косвенные методы. Поскольку электромагнитное взаимодействие осуществляется обменом фотонов, то можно показать, что 0, если масса фотона ф 0. Эта масса связана
с энергий
фотона, ф
, частотой и импульсом ф соотношени-
ем ф 2
2ф ф 2 , где 6,28 10 34 Дж с — постоянная Планка.
Поэтому справедливо неравенство
ф
2
Из всех известных в настоящее время электромагнитных волн наименьшей частотой обладают стоячие волны, или резонансы Шумана, которые
огибают земной шар (см. лекцию 20). Если принять наименьшую частоту равной
8 Гц, то ф 0,6 10 50 кг. Следовательно, если положить,
35
Лекция 2
что ф 10 50 кг, то, как следует из теории,
10 16 . Таким образом,
закон Кулона выполняется с большой точностью для расстояний в десятки тысяч километров.
Упомянутые выше опыты Резерфорда и опыты по рассеянию высокоэнергетичных электронов на нуклонах позволили установить, что закон Кулона
будет справедлив и на чрезвычайно малых расстояниях, вплоть до сотых
долей фемтометра.
Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Пусть имеется некое
непрерывное распределение электрического заряда с объемной плотностью
*, , , - . Этот распределенный заряд создает электрическое поле с напряженностью % *, , , - . Установим связь между этими величинами в одной
и той же точке пространства. Для этого рассмотрим малый объем в виде
кубика со сторонами *, , , - и запишем для него уравнение (2.19):
Разделим обе части равенства на объем * , - . Устремляя его
к нулю, получаем
(2.27)
0
Равенство (2.27) является дифференциальной формой теоремы Гаусса, или
уравнением Максвелла в дифференциальной форме применительно к вакууму. Если это уравнение проинтегрировать, то можно установить искомую
связь между полем и зарядами.
Электрическое поле Земли. Опыт показывает, что вблизи поверхности
Земли существует электрическое поле. Возникновение этого поля связано
в основном с процессами ионизации воздуха под действием космических
лучей, ультрафиолетового излучения Солнца; излучения радиоактивных веществ, имеющихся на поверхности Земли и в воздухе; электрических разрядов в атмосфере и т. д.
В результате происходит пространственное разделение зарядов: поверхность Земли становится заряженной отрицательно, а над ней находится положительно заряженная атмосфера, содержащая большое число ионизованных
молекул.
Напряженность поля вблизи поверхности Земли в среднем составляет
около 100 В/м. Если воспользоваться формулой (2.12), записав ее в виде
%
З2 , и принять радиус Земли З
64 000 км, то заряд Земли
6
0,46 10 Кл.
При осадках и особенно грозах, метелях, пылевых бурях и т. п. напряженность поля может резко менять направление и величину, достигая иногда
1000 В/м. Наибольшие значения имеет в средних широтах, а к полюсам
и экватору убывает. Вблизи земной поверхности в слое перемешивания толщиной 300–3000 м, где скапливаются аэрозоли, напряженность поля может
2*
36
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
даже с высотой возрастать. Выше слоя перемешивания она убывает с высотой
по экспоненциальному закону и на высоте 10 км не превышает нескольких
вольт на метр. Это убывание связано с тем, что в атмосфере содержатся
положительные объемные заряды, плотность которых также быстро убывает
с высотой.
Электростатический фильтр. Взаимодействие заряженных частиц используется в электростатическом фильтре для очистки воздуха от содержащихся в нем пыли и аэрозолей. Принцип очистки демонстрируется в лекционном эксперименте. В прямоугольной кювете, заполненной дымом, сверху
и снизу находятся параллельные горизонтальные пластины (рис. 2.17 а). При
подаче на пластины высокого напряжения от электрофорной машины частички ионизируются и начинают оседать на отрицательно заряженной нижней
пластине (рис. 2.17 б). Через некоторое время воздух очищается от дыма
(рис. 2.17 в).
Рис. 2.17
Устройство промышленного фильтра показано на рис. 2.18. Частицы пыли
или аэрозоля, пройдя через предварительный фильтр, попадают в ионизатор,
который состоит из чередующихся металлических пластин и нитей. Между
нитями и пластинами за счет высокого приложенного напряжения
10 кВ
создается сильное электрическое поле и возникает коронный разряд, в котором частицы ионизируются (становятся положительно заряженными). Пройдя
через разряд, они попадают в осадитель, представляющий собой систему
пластин с чередующимся положительным и отрицательным значением потенциала. Разность потенциалов между соседними пластинами может достигать
Лекция 2
37
нескольких киловольт. Положительные ионы примеси будут оседать на пластинах с отрицательным потенциалом. Затем воздух может проходить через
дополнительные фильтры (постфильтр и химкассета), подвергаясь дальнейшей очистке.
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Электростатические фильтры способны эффективно очищать воздух от
самой мелкой пыли (размером до 0,01 мкм), в том числе копоти и табачного
дыма. С начала ХХ в. они стали широко применяться в промышленности.
На рис. 2.19 показаны фотографии дымящихся заводских труб с электростатической фильтрацией и без нее.
Атомный силовой микроскоп. Для определения рельефа поверхности с разрешением вплоть до атомных размеров используется атомносиловой микроскоп (АСМ), созданный в 1982 г. Г. Биннигом, К. Куэйтом
и К. Гербером (США). Схема АСМ показана на рис. 2.20. Принцип его работы основан на регистрации силового взаимодействия между поверхностью
38
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
исследуемого образца и зондом. В качестве зонда применяется наноразмерное острие (шип), располагающееся на конце упругой консоли (пластинки),
называемой кантилевером.
Рис. 2.20
Сила, действующая на зонд со стороны поверхности, приводит к изгибу
консоли. Появление возвышенностей или впадин под острием влечет изменение силы, действующей на зонд, а значит, и изменение величины изгиба
кантилевера. Таким образом, регистрируя величину изгиба, можно сделать
вывод о рельефе поверхности.
Зонд и образец взаимодействуют посредством сил Ван-дер-Ваальса, которые на больших расстояниях являются силами притяжения, а при сближении
переходят в силы отталкивания. Для того чтобы «почувствовать» взаимодействие атома с атомом, необходимо, чтобы зонд был атомных размеров.
Поэтому реальные зонды имеют поперечные размеры от десятка нанометров
до размера одного атома! Их длина составляет несколько микрометров.
Для зонда, имеющего радиус кривизны
( ( - , где - — расстояние
от зонда до поверхности абсолютно плоского образца), сила притяжения
- 2 (формула Гамакера), а сила отталкивания 1- 8 .
При работе в так называемом контактном режиме острие кантилевера
находится в непосредственном контакте c образцом, при этом на острие
действуют силы отталкивания. Сканирование (перемещение в горизонтальной
плоскости образца с исследуемой поверхностью) осуществляется, как правило, в режиме постоянной силы, когда система обратной связи, приподнимая
или опуская консоль (или образец) с помощью пьезоэлектрического манипулятора, поддерживает постоянной величину изгиба кантилевера.
При исследовании образцов с перепадами высот порядка единиц ангстрем
можно применять режим сканирования при постоянном среднем расстоянии
Лекция 2
39
между зондом и поверхностью образца. В этом случае кантилевер движется
на некоторой средней высоте над образцом.
Изгиб консоли контролируется высокоточными оптическими методами.
Для этого на конце кантилевера расположена зеркальная площадка, от
которой отражается луч лазера. Когда зонд опускается и поднимается на
неровностях поверхности, отраженный луч отклоняется, и это отклонение
регистрируется фотодиодом, сигнал с которого поступает в фотодетектор. Сила,
с которой зонд взаимодействует с атомами поверхности, измеряется дополнительно
пьезодатчиком (не показанном на рисунке).
Данные фотодетектора и пьезодатчика используются в системе обратной связи, которая может обеспечивать, например, постоянную величину силы взаимодействия между
зондом и поверхностью образца.
В результате можно строить объемный
рельеф поверхности образца в режиме реального времени. Разрешающая способность
данного метода составляет примерно 0,1–1 нм
Рис. 2.21
по горизонтали и 0,01 нм по вертикали.
На рис. 2.21 показано изображение поверхности тонкой пластинки из
золота. Отчетливо видны области атомарных размеров, указывающие на местоположение отдельных атомов.
ЛЕКЦИЯ 3
Электрическое напряжение. При перемещении заряда 0 в электрическом поле с напряженностью по некоторому пути из точки 1 в точку 2,
поле будет совершать работу, равную
2
0
.12
(3.1)
1
Энергетической характеристикой поля является электрическое напряжение между этими точками
/12
2
12
0
,
(3.2)
1
равное работе, совершаемой полем по перемещению единичного положительного пробного заряда. Единицей электрического напряжения является 1 вольт: 1 В
1 Дж1 Кл, а единицей напряженности электрического
поля — 1 В/м.
Разность потенциалов. Если поле создается неподвижными зарядами,
то электрическое напряжение не зависит от формы пути и может быть
представлено в виде разности потенциалов:
/12
01 02
(3.3)
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся
формулой (2.12) и вычислим вначале электрическое напряжение между точками 1 и 2
в поле, создаваемом точечным зарядом
(рис. 3.1):
2
/12
Рис. 3.1
1
Из рисунка видно, что
2
/12
1
3
1
2
3
01 02
(3.4)
. Поэтому
(3.5)
Если поле создается системой зарядов, то в силу принципа суперпозиции
электрическое напряжение будет равно алгебраическое сумме электрических
напряжений вида (3.5) и, следовательно, /12 01 02 .
41
Лекция 3
Поле, для которого электрическое напряжение между двумя точками
зависит от положения этих точек и не зависит от формы пути, называется потенциальным. Таким образом, электростатическое поле потенциально.
Нетрудно видеть, что для потенциального поля интеграл (3.2) по замкнутому контуру
0
(3.6)
Интеграл в этом выражении называется циркуляцией вектора напряженности электрического поля.
Поэтому другим (эквивалентным) определением потенциальности поля
является равенство нулю циркуляции вектора напряженности.
Если размеры контура стягивать в точку, то выражение (3.6) можно свести
к дифференциальной форме, вводя ротор вектора напряженности электрического поля в соответствии с определением
À
0
(3.7)
Здесь # — площадь маленького контура,
— нормаль к площадке, направленная туда же,
куда и острие буравчика, рукоятка которого
вращается в положительном направлении обхода контура.
Вычислим проекции вектора на координатные оси. Вначале расположим малый
Рис. 3.2
контур в окрестности точки с координатами
(*, , , - параллельно плоскости ,)- , а нормаль
к нему — в положительном направлении оси )* (рис. 3.2), и будем обходить
контур в последовательности 1-2-3-4. Тогда, в соответствии с (3.7),
Вычисляя аналогично и две другие компоненты , условие потенциальности поля (3.6) можем записать в локальной форме:
0
(3.9)
В тех случаях, когда напряжение зависит от формы пути (вихревое электрическое поле и др.), употребляется также термин электродвижущая сила
(ЭДС):
2
12
1
(3.10)
42
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Этот термин чаще всего используется, когда в поле находится проводник,
аего концы совпадают с точками 1 и 2. Тогда говорят, что к концам
проводника приложена ЭДС.
Потенциал. Вместо разности потенциалов 01 02 часто используют
понятие потенциал, подобно тому, как в механике вводится потенциальная
энергия, если оговорено, что принимается за уровень ее отсчета.
Если принять за уровень отсчета 00 02 в точке 2
0 , то потенциал
в любой точке будет равен
0
0
00
(3.11)
Такая процедура называется нормировкой потенциала. Выбор точки 0
диктуется соображениями удобства. Для системы точечных зарядов 0
и полагают 00 0. Для бесконечно большой заряженной плоскости или слоя
точка 0 в рамках рассматриваемой модели заряженного тела должна находиться вблизи поверхности этих заряженных тел. В электротехнике точка
отсчета потенциала находится на поверхности Земли, где 00 0, и т. д.
Потенциал является непрерывной функцией координат. Для изображения распределения потенциала служат поверхности одинакового потенциала
0
, или эквипотенциальные поверхности. При перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности работа поля равна нулю. Поэтому
эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям.
Потенциал поля точечного заряда при указанной выше нормировке получается из (3.5) равным
0
(3.12)
На рис. 3.3 а показано распределение потенциала поля точечного заряда
в относительных единицах. Рядом (б) изображена проекция этого распределения на плоскость. Разными цветами выделены области, соответствующие
одинаковому изменению потенциала. По мере удаления от заряда ширина
Рис. 3.3
43
Лекция 3
цветных колец (в проекции на плоскость) увеличивается, а напряженность
поля уменьшается.
Если имеется система & дискретных зарядов, то с учетом (2.13) и по
аналогии с (3.12) потенциал создаваемого этими зарядами поля будет равен
0
(3.13a)
1
На рис. 3.4 изображено распределение потенциала поля двух одинаковых
разноименных зарядов. Линия нулевого потенциала это бесконечная прямая,
проходящая на равном удалении от обоих зарядов. На больших расстояниях
Рис. 3.4
эти заряды могут рассматриваться как диполь, обладающий дипольным моментом (см. рис. 2.2 а). Тогда
0
0
0
1
1
2
3
(3.13б)
В случае непрерывного распределения заряда по аналогии с (2.15) для
потенциала получаем
0
'
#
(3.14)
Пример 1. Вычислим потенциал поля, создаваемого равномерно заряженным по объему тонким плоским слоем толщиной , считая заданной
объемную плотность заряда . Поскольку напряженность поля описывается
формулами (2.21), то полагая, что при *0 0 потенциал 00 0, из (3.11)
получаем
01 *
0
1
0
* *
1
*2 ;
20
*
2,
(3.15а)
44
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
0
02 *
1
2
0
* *
2
1
*
20
01
40
1
2
80
210
2
* ;
* ( 2
2
(3.15б)
Распределение потенциала изображено при
( 0 на рис. 3.5. Как уже отмечалось, формулы (2.21), а следовательно, и (3.15) справедливы при небольших значениях координаты *.
При * поле начнет уменьшаться (как
у точечного заряда), а потенциал будет стремиться к постоянной отрицательной величине.
Пример 2. Определим потенциал в точке,
находящейся на произвольном расстоянии от
центра равномерно заряженного по всему объему шара радиуса , заряд которого равен .
Для этого полагаем, что при 0 величина
00 0 и с использованием формул (2.24) получаем
Рис. 3.5
40 2
02
80
2
3
2
4
0
40 2
;
40
(
;
, (3.16а)
(3.16б)
Распределение потенциала (3.16) показано на рис. 3.6. Важно отметить,
что потенциал поля в центре шара больше, чем на его поверхности. Если
заряд шара переместить на его поверхность (случай равномерно заряженной сферы), то поле внутри шара будет равно нулю, а потенциал всех его
точек будет равен потенциалу поверхности
0
(3.16в)
40
Пример 3. Вычислим потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной по объему бесконечно длинной нитью радиуса , считая заданной
объемную плотность заряда . Сначала с помощью
Рис. 3.6
теоремы Гаусса вычислим напряженность поля,
для чего окружим нить цилиндрической поверхностью радиуса и длиной .
Если , то % 2 2 0 . Полагая на поверхности нити потенциал
равным 00 , получаем
0
% 00
2
00
20
00
2
20
;
(
(3.17а)
45
Лекция 3
Если
0
, то % 2
% 00
00
20
2 0 , и
00
2
40
2
,
(3.17б)
Локальная связь между напряженностью поля и потенциалом. Если
в выражении (3.11) начальная и конечная точки интегрирования настолько
, то можно записать
близки, что 0
0
00
%
* %
, %
-
(3.18а)
С другой стороны,
0
00
0
0
0
*
,
(3.18б)
Следовательно,
%
или
,
%
,
%
0
,
(3.19а)
0
(3.19б)
.
Выражения (3.19) устанавливает локальную связь (в одной точке пространства) между напряженностью электростатического поля и потенциалом.
Из него следует, что вектор сориентирован в направлении наиболее быстрого убывания потенциала.
В рассмотренных выше двух примерах распределение потенциала находилось путем интегрирования известного выражения для напряженности электростатического поля. Однако при заданном распределении зарядов можно
было, минуя вычисление поля, воспользоваться выражением (3.14) и прийти
к тем же результатам. Тем более что вычисление интеграла (3.14) от скалярной функции намного проще, чем вычисление интеграла (2.15) от векторной
функции. После вычисления потенциала, применив операцию (3.19), можно
затем и вычислить три компоненты вектора .
Уравнение Пуассона. Связь между объемной плотностью заряда и потенциалом можно получить также в локальном виде. Для этого в уравнение
(2.27)
0
подставим значения компонент поля из (3.19а). В результате получим уравнение Пуассона
2
2
2
0 2 2 2 0
(3.20)
Здесь оператор
Здесь
2
2
2
2
— оператор Лапласа. Уравнение
2
2
0 0
(3.21)
46
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
называется уравнением Лапласа и может рассматриваться как частный случай уравнения Пуассона.
В ряде случаев с помощью этих уравнений можно значительно проще
рассчитать распределение потенциала, чем вычислять интеграл в (3.14), хотя,
конечно, это интегральное выражение является решением уравнения (3.20).
В качестве иллюстрации рассчитаем распределение потенциала поля заряженного слоя и шара.
Пример 4. В случае заряженного слоя, рассмотренного в примере 1, внутри слоя распределение потенциала 01 * подчиняется уравнению Пуассона
2 1
2
01
,
0
*
2
Его решение имеет вид
01 *
20
*2 .1 * 11 ,
(3.22а)
где .1 и 11 — некоторые константы, подлежащие определению.
Вне слоя распределение потенциала 02 * подчиняется уравнению Лапласа
2
02 22 0, * ( 2,
решение которого может быть записано в виде
02 *
.2 * 12
(3.22б)
Из условия нормировки 01 0 0 получаем 11 0, а из четности функции 01 * следует, что .1 0. Непрерывность потенциала на границе слоя
(* 2 позволяет записать
2
.2 12
(3.23а)
20 2
2
При объемном распределении заряда напряженность поля будет также
непрерывной функцией на границе слоя
%1 1 %2 2 , или
.2
(3.23б)
0 2
01 *
02 * или
2
. Поэтому
80
Из (3.23а) получаем 12
01 *
2
* ,
20
02 *
2
*
,
20
80
(3.24)
что совпадает с (3.15).
Пример 5. Для шара, рассмотренного в примере 2, удобно использовать
сферические координаты. Уравнение Пуассона, с учетом сферической симметрии задачи, имеет вид
01
1
2
2
1
,
0
47
Лекция 3
Его решение содержит две константы:
01 2 1
60
11
(3.25а)
Соответственно уравнение Лапласа
2 2
02 12
0, ( ,
имеет решение также с двумя константами:
2
02
12
(3.25б)
Из условия нормировки, 02 0 при , получаем 12 0. Из конечности значения потенциала в центре шара следует, что .1 0. Записывая
)
далее условие непрерывности потенциала на поверхности шара (
2
01 02 , или
11 2
(3.26а)
60
и условие непрерывности напряженности поля
2
%1 1 %2 2 , или
,
(3.26б)
2
30
находим .2
Поэтому
3
30
, 11
01
20
2.
2
60
20
2
,
02
3
,
30
(3.27)
что совпадает с (3.16).
Однородное поле внутри заряженного шара. Зададимся вопросом:
как следует зарядить шар, чтобы создать внутри него однородное электрическое поле. Как следует из (3.27) и (3.19), поле внутри равномерно
заряженного по объему шара
2
2
01
(3.28)
60
20
30
Здесь — единичный вектор. Это поле обладает сферической симметрией и нарастает от нуля в центре шара до максимального значения на его
поверхности, равного
.
30
Чтобы создать однородное поле, возьмем два одинаковых шара, заряженных равномерно по объему с объемной плотностью заряда, равной по
величине и противоположной по знаку. Тогда напряженность поля внутри
положительно ( и отрицательно ( заряженных шаров, как следует из
(3.28), будут равны
,
,
(3.29)
30
30
и
— радиусы-векторы, проведенные из центров соответствующих
где
шаров.
48
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Далее мысленно совместим оба шара так, чтобы между центрами ша, как это изображено на рис. 3.7 а.
ров было небольшое расстояние 0
В результате совмещения получится сфера, заряженная неравномерно по
поверхности разноименными зарядами. Поле внутри такой сферы получается
из (3.29) равным
(3.30)
30
30
30
30 0
направлен из центра положительно заряженного
Здесь вектор 0
шара к центру отрицательно заряженного шара. Следовательно, поле внутри
такой заряженной сферы постоянно по величине и направлено вдоль вектора 0 .
Рис. 3.7
Как уже отмечалось, для сферы можно ввести поверхностную плотность
заряда, равную произведению объемной плотности на толщину заряженного
слоя. В рассматриваемом случае толщина слоя 0
", поэтому поверхностная плотность заряда
! "
0
"
!0
",
(3.31)
где !0 0 — максимальная по абсолютной величине поверхностная плотность заряда (формула (3.31) учитывает и смену знака поверхностного заряда).
Подводя итог, можно сказать, что если сфера (или шар) заряжена по поверхности с поверхностной плотностью ! " !0
" (рис. 3.7 б), то внутри
нее существует однородное электрическое поле с напряженностью
%
0
30
(3.32)
Это однородное поле называют полем Лоренца (в честь нидерландского
физика-теоретика Х. Лоренца, создателя классической электронной теории
свойств вещества). Снаружи электрической поле по своей структуре подобно
полю электрического диполя.
Электрометр. Для измерения разности потенциалов используются электрометры. Электрометр имеет металлический цилиндрический корпус, передняя и задняя стенки которого стеклянные (рис. 3.8). На конце стержня могут
49
Лекция 3
находиться как легкие листки, так и вращающаяся вокруг горизонтальной оси
стрелка, отклонение которых определяется величиной заряда. Внутри корпуса
установлена шкала электрометра.
Для измерения разности потенциалов между проводниками один проводник соединяют со стержнем, другой проводник — с корпусом электрометра.
Жесткий металлический корпус является принципиально необходимой частью
электрометра, отличающей его от электроскопа. Электрометр всегда измеряет
разность потенциалов между его листками и корпусом.
Рис. 3.8
Рис. 3.9
При зарядке листков внутри прибора возникает электрическое поле.
Линии этого поля показаны на рис. 3.9 сплошными линиями, а его эквипотенциальные поверхности — штриховыми линиями. Поверхность металлического
корпуса есть эквипотенциальная поверхность.
Отклонение листков зависит от действующей на них силы, т. е. в конечном
счете от напряженности электрического поля возле них. Чем больше разность
потенциалов, тем больше напряженность поля возле листков, тем больше и их
отклонение.
Для измерения электрического потенциала в точке пространства достаточно вывести в эту точку один контакт электрометра, а другой соединить
с землей (заземлить). В воздухе при обычных условиях нет свободных зарядов, которые перемещались бы под действием поля. Поэтому воздух необходимо ионизировать (создать плазму). Для этого используют плазменный
зонд-контакт электрометра, помещенный, например, в пламя свечи, ионизирующее воздух в области, потенциал которой измеряется (рис. 3.10).
В лекционном эксперименте с помощью плазменного зонда, соединенного с заземленным электрометром, демонстрируют распределение в пространстве потенциала поля, создаваемого заряженным металлическим шаром
(рис. 3.11). Для этого шар заряжают от источника высокого напряжения:
электрофорной машины, генератора Ван-де-Граафа и др. При перемещении
зонда вокруг шара на неизменном расстоянии от его поверхности показания
50
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Рис. 3.10
электрометра не меняются, а при удалении от поверхности шара отклонение
стрелки электрометра уменьшается.
Рис. 3.11
Электростатический генератор Вимшурста (электрофорная машина).
Устройство, в котором высокое постоянное напряжение (до нескольких миллионов вольт) создается при помощи механического переноса электростатических зарядов, называется электростатическим генератором. Перенос зарядов
может осуществляться при помощи вращающихся цилиндров или дисков,
гибкой транспортерной ленты, при помощи жидкостного транспортера и пр.
Первый электростатический генератор был сооружен в 1831 г. итальянцем
Белли. Затем в 1865 г. немецкими физиками А. Теплером и В. Гольцем была
Лекция 3
51
создана электрофорная машина. В период 1880–1883 гг. ее усовершенствовал
английский изобретатель Дж. Вимшурст.
Электрофорная машина Вимшурста состоит из двух непроводящих дисков
с медными секторами (рис. 3.12).
Рис. 3.12
По обе стороны от дисков расположены вдоль диаметра проводники, на
концах которых расположены щетки, касающиеся противоположных секторов. Диски приводятся во встречное вращение с равной угловой скоростью.
Разделение зарядов происходит в проводниках, после чего заряды попадают на секторы и затем накапливаются в лейденских банках (см. далее).
В результате совершаемой работы по преодолению сил электростатического притяжения между разноименно заряженными секторами, движущимися
в противоположных направлениях, увеличивается разность потенциалов и заряд лейденских банок. Такая машина позволяет достичь на полюсах машины
(лейденских банках) разности потенциалов в несколько сотен киловольт.
Для того чтобы понять принцип ее работы, обратимся к рис. 3.13. На нем
для простоты вместо дисков изображены два непроводящих кольца с проводящими участками (контактами) и проводники 2– и –, соединяющие
противоположные контакты каждого из колец.
Предположим теперь, что на одном контакте 1 внешнего кольца появился
небольшой положительный заряд (ситуация а). Тогда из-за электростатической индукции (см. далее) в проводнике 2– произойдет разделение зарядов
и появится слабое электрическое поле в зазорах между двумя парами контактов (в областях, примыкающих к точкам 2 и ). Это поле схематически
изображено силовыми линиями.
Повернем внутренне кольцо против часовой стрелки на «три контакта»
(ситуация б). Теперь индукция будет происходить в проводнике – под
действием поля трех заряженных контактов внутреннего кольца. Поле вблизи
точек и будет больше (густота силовых линий возросла), чем вблизи 2
и , поэтому внешний контакт 3 (и противоположный) будет иметь больший
заряд, чем контакт 1.
52
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Рис. 3.13
Теперь повернем внешнее кольцо по часовой стрелке на «три контакта»
(ситуация в). Это приведет к еще более сильной индукции в проводнике 2–
и, соответственно, к появлению еще большего заряда на примыкающих контактах внутреннего кольца.
Разумеется, что практически вместо поочередных поворотов то одного,
то другого кольца используют непрерывное вращение обоих колец (дисков)
в противоположные стороны (ситуация г). В результате в области тупого
угла 2) контакты обоих колец заряжены положительно, а в области ) —
отрицательно. В этих областях и помещают скользящие щетки 11 и 12 ,
служащие клеммами для дальнейшего использования генератора.
Исследование электрического разряда в разреженных газах дало первый
толчок совершенствованию электростатических генераторов. Изучение атомного ядра, потребовавшее еще больших напряжений, привело к появлению
новых конструкций.
Генератор Ван-де-Граафа. В 1929 г. американский физик Р. Ван-де-Грааф
создал генератор, позволивший достичь напряжения в 80 киловольт, а несколько лет спустя это напряжение уже достигло величины 7 миллионов вольт. Основной деталью этого генератора был огромный полый
металлический шар, надежно изолированный от земли, на внутреннюю поверхность которого непрерывно подводился электрический заряд.
Лекция 3
53
Принцип получения высокого напряжения показан на рис. 3.14. При внесении (а) заряженного шарика через малое отверстие внутрь проводящей
сферы (б) происходит разделение зарядов (явление электростатической индукции, см. далее). При касании шариком сферы электроны с ее внутренней
поверхности переходят на шарик, нейтрализуя его положительный заряд (в).
В результате (г) сфера приобретает заряд, равный заряду шарика. Повторяя
этот процесс многократно, можно накопить на сфере большой заряд.
Рис. 3.14
Максимальный заряд определяется из условия равенства напряженности вблизи поверхности сферы величине %пр
3 106 В/м, при которой
происходит электрический пробой воздуха (рис. 3.15) и она разряжается.
При радиусе шара
1 м
4 0 2 %пр
0,3 10 3 Кл, а потен
циал вблизи поверхности 0
40
3 106 В.
Устройство генератора Ван-де-Граафа
изображено на рис. 3.16. Заряд переносится снизу вверх с помощью движущейся наэлектризованной непроводящей
ленты и доставляется к электроду, наРис. 3.15
ходящемуся внутри проводящей сферы.
Лента заряжается в области . за счет
коронного разряда при разности потенциалов около 10000 В между металлическими иглами и заземленной сеткой.
Лента приводится во вращение электродвигателем. Переносимый транспортером ток
!' (! , , ' — поверхностная плотность заряда, ширина
ленты и ее скорость соответственно) не превышает долей миллиампера.
Поэтому мощность генератора порядка нескольких киловатт. Кроме того,
из-за больших аэродинамических потерь КПД не превышает 15–20 %.
Современные генераторы Ван-де-Граафа вместо лент используют цепи,
состоящие из чередующихся металлических и пластиковых звеньев, и называются пеллетронами. Помещая сферу в газообразную среду при высоком
54
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
давлении (смесь азота и углекислоты под давлением 30 атмосфер), удается
достичь разности потенциалов 20 миллионов вольт.
Исторически генераторы Ван-де-Граафа применялись для ускорения заряженных частиц в линейных ускорителях. В настоящее время их роль
в ядерных исследованиях уменьшилась с развитием иных способов ускорения
частиц. Однако они продолжают использоваться для моделирования процессов,
происходящих при ультравысоких напряжениях (удары молнии, грозовые разряды и пр.).
Статическое электричество. Как
отмечалось ранее, электризация тел трением может возникать вследствие того, что при тесном контакте электроны
из одного вещества переходят в другое.
В результате перераспределения электронов эти вещества заряжаются разноименно. В жидкостях и газах при их
контакте может также происходить перераспределение ионов.
На трущихся поверхностях тел могут накапливаться электрические заряды. Если тело является проводником
и заземлено, то заряды легко стекают
с него в землю до тех пор, пока не
выровняются потенциалы тела и земли. В диэлектриках электрические заряды могут удерживаться продолжительное время. Таким образом, возникает
статическое электричество (СЭ).
При последующем разделении этих
тел каждое из них сохраняет свой электрический заряд, а с увеличением расстояния между ними, за счет совершаемой работы по разделению зарядов,
разность потенциалов возрастает и может достигнуть десятков и сотен килоРис. 3.16
вольт. Она зависит от диэлектрических
свойств материалов, давления при соприкосновении, влажности и температуры поверхностей этих тел, климатических условий и пр. Электрические заряды могут взаимно нейтрализоваться вследствие некоторой электропроводности влажного воздуха, и при влажности воздуха более 85 % СЭ практически
не возникает.
Статическое электричество играет немаловажную роль в жизнедеятельности человека. На бытовом уровне часто приходится иметь дело с наэлектризованными предметами — расческами, полиэтиленовыми пакетами и пр. Когда
человек, тело которого наэлектризовано, дотрагивается до металлического
Лекция 3
55
предмета, например трубы отопления или холодильника, по его телу будет протекать кратковременный электрический ток, вызывающий неприятные
ощущения (удар током).
Большую опасность СЭ представляет в технике и производстве. Так, при
трении приводных ремней о шкивы или транспортерных лент о валы, перекачке огнеопасных жидкостей по трубопроводам и перевозке нефтепродуктов
в цистернах, прокачке пыльного воздуха в системах вентиляции, транспортировке сжиженного газа и пр. могут возникать высокие напряжения, при
которых появляется искровой разряд. Он способен вызвать взрыв бензина
в бензобаке автомобиля, нефти в танкере, угольной пыли в шахте и даже
мучной пыли на мукомольном комбинате! Для предотвращения возникновения СЭ трущиеся детали машин и механизмов заземляют.
В июне 2007 г. на международной космической станции (МКС) из-за
статического электричества вышли из строя шесть компьютеров, что сильно
усложнило жизнеобеспечение станции.
В природных условиях в результате движения воздушных потоков,
насыщенных водяными парами, образуются грозовые облака, являющиеся
носителями статического электричества. Электрические разряды образуются
иногда между разноименными заряженными облаками, но чаще всего между
заряженным облаком и землей (рис. 3.17). При достижении определенной
разности потенциалов происходит разряд молнии между облаками или облаком и землей. Для защиты от молний устанавливаются молниеотводы
(громоотводы, см. далее), проводящие разряд напрямую в землю.
Рис. 3.17
Грозовые облака, создающие сильные электрические поля, могут вызвать
электростатическую индукцию в изолированных металлических предметах
и проводниках, что может повлиять на работу различных электронных
устройств.
Энергия системы зарядов. Для изменения расстояния между зарядами
необходимо совершить работу против сил электростатического взаимодействия. Эта работа затрачивается на изменение энергии взаимодействия зарядов. Рассмотрим возможные способы вычисления энергии взаимодействия.
56
Раздел 1. Заряды и электрическое поле
Начнем с простой ситуации, когда система состоит из двух точечных
зарядов 1 и 2 , находящихся друг от друга на расстоянии 12 . Энергия их
взаимодействия 3вз равна работе, которую необходимо совершить, сблизив
бесконечно удаленные друг от друга заряды на это расстояние. Если принять,
что заряд 1 неподвижен, а заряд 2 перемещается в поле первого заряда
из бесконечности 2 в эту точку, то согласно (3.2) и (3.5)
3вз
2 /
2
1
12
1
1 2
12
1
1 2
2
12
2 1
21
1
0 011
2 2 2
(3.33)
1 12 — потенциал поля первого заряда в точке нахождения
Здесь 02
второго заряда, 01 2 21 — потенциал поля второго заряда в точке нахождения первого заряда.
Для системы из & точечных зарядов, обобщая (3.33), получим
1
1
0
3вз
(3.34)
2
2
Если имеется заряженное тело объема ' и известна объемная плотность
его заряда , то энергия взаимодействия называется собственной энергией
этого тела и равна
1
3cб
0 '
(3.35)
2
Если имеется & заряженных тел, то полная энергия такой системы
3
1
1
2
0 '
1
1
2
0вз 0сб
'
3вз 3сб
0вз
Здесь — потенциал поля в объеме ' , создаваемого внешними телами,
0сб
— потенциал поля, создаваемого зарядами этого тела. Поэтому полная
энергия системы 3 определяется суммой энергии взаимодействия 3вз и всех
собственных энергий заряженных тел 3сб .
Рассмотрим два примера.
Пример 6. Пусть шар радиуса
равномерно заряжен по поверхности зарядом . Интеграл по объему сведется к интегралу по поверхности.
Поскольку потенциал поверхности 0 , то
3сб
1 2
2
1
!#
2
(3.36)
Пример 7. Если имеются две разноименно заряженные параллельные
пластины (заряженный плоский конденсатор), потенциалы которых равны 01
и 02 , а заряды и соответственно, то полная энергия
3
1
01 02
2
(3.37)
РАЗДЕЛ
2
МЕТАЛЛЫ И ДИЭЛЕКТРИКИ
В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
ЛЕКЦИЯ 4
Поле в веществе. При внесении во внешнее электрическое поле металла
или диэлектрика заряженные частицы в них (ионы в узлах кристаллической решетки и электроны), испытывая воздействие этого поля, смещаются
из состояния равновесия, в котором они пребывали в отсутствие внешнего
поля. В результате новой конфигурации зарядов появляется дополнительное
электрическое поле.
Поэтому поле в веществе будет суперпозицией внешнего поля и поля,
создаваемого зарядами вещества. Микроскопическая объемная плотность
микро этих зарядов очень сильно будет изменяться на масштабе межатомных
расстояний. Поэтому и так называемое микроскопическое поле с напряженностью микро также будет резко изменяться на масштабах межатомных
расстояний.
Экспериментально можно измерить лишь усредненные по физически малому объему ' значения объемной плотности и напряженности поля, которые
являются макроскопическими величинами и :
макро
макро
микро
микро
1
микро ' ,
1
микро '
Величины и изменяются плавно от точки к точке внутри вещества
и поддаются измерению. Поэтому в дальнейшем они будут рассматриваться
как объемная плотность заряда и напряженность поля в веществе.
Если тело помещено во внешнее поле, то в нем происходит либо перемещение свободных электронов (металлы), либо небольшие смещения (на величину порядка размера атома) ионов и электронов (диэлектрики). В результате возникает наведенное (индуцированное) поле, которое накладывается на
внешнее поле. Разделение зарядов, приводящее к появлению наведенного
поля, называется электростатической индукцией, а нескомпенсированные в малом объеме ' заряды называются индукционными.
Электростатическая индукция в металлах. Опыт показывает, что при
внесении металлического предмета в электростатическое поле на противоположных сторонах его поверхности появляются заряды разного знака.
Если, например, положительно заряженную стеклянную палочку поднести к металлическому телу, состоящему из двух половинок, то свободные
58
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
электроны под действием внешнего поля переместятся на ближнюю к палочке
половинку. В результате индукции на этой половинке появится некомпенсированный отрицательный заряд, а на дальней — положительный (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если теперь в присутствии палочки разъединить обе половинки, то они
останутся заряженными. Об этом будет свидетельствовать отклонение стрелок электрометров (см. далее), соединенных с заряженными половинками.
Такой способ зарядки металлического тела называется электризация через
влияние.
Если поднести палочку к дальней половинке, то отклонение стрелки
соединенного с ней электрометра увеличится, а при поднесении к ближней
половинке отклонение стрелки другого электрометра уменьшится. Это подтверждает вывод о разных знаках индуцированных зарядов.
При индукции перемещение электронов в металле прекратится тогда,
когда индукционное поле в каждой точке внутри металла скомпенсирует
внешнее поле. Следовательно, электростатическое поле внутри металлического тела отсутствует. Поскольку разность потенциалов между двумя
любыми точками в металле равна нулю, то поверхность металлического
тела является эквипотенциальной поверхностью.
В описанном выше лекционном эксперименте можно легко продемонстрировать, что поверхность металлического тела в присутствии заряженной стеклянной палочки будет эквипотенциальной поверхностью. Для этого
небольшой металлический шарик, укрепленный на изолирующем стержне
и соединенный с одним контактом заземленного электрометра, перемещают
по поверхности заостренного тела (рис. 4.2). Поскольку показания электрометра не меняются, то это свидетельствует об одинаковом (относительно
земли) потенциале всех точек поверхности металлического тела.
Следовательно, силовые линии поля перпендикулярны поверхности
и внутрь тела не проникают. Этот вывод хорошо подтверждает рис. 4.3, на
котором показана фотография структуры силовых линий поля, создаваемого
равномерно заряженной нитью (справа) в присутствии незаряженного проводящего кольца, в котором происходит электростатическая индукция.
59
Лекция 4
Рис. 4.2
Рис. 4.3
Так как напряженность поля внутри металла
0, то из уравнения
0 следует, что индукционные заряды располагаются на поверхности тела.
Экспериментально это можно подтвердить, если взять гибкую металлическую сетку с прикрепленными к ней с обеих сторон бумажными листками
(рис. 4.4) . Впервые подобную сетку в демонстрационных опытах использовал
русский физик Б. Кольбе, поэтому этот демонстрационный прибор называется
сеткой Кольбе. Если сетку зарядить и затем свернуть в цилиндр, то зарядятся
лишь листочки на внешней поверхности, которые будут отталкиваться от
сетки.
Рис. 4.4
Рис. 4.5 иллюстрирует лекционный эксперимент, в котором в пространстве между обкладками заряженного конденсатора помещаются бумажные
султаны. Во внешнем поле они электризуются и отталкиваются друг от друга.
Если же на султаны надеть металлическую клетку, то она будет экранировать
внешнее поле. В технике с помощью металлических клеток осуществляют
электростатическую защиту.
60
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Рис. 4.5
Если поверхностная плотность заряда в некоторой точке поверхности
равна ! , то напряженность электрического поля вблизи этой точки
0
,
(4.1)
где — внешняя нормаль к поверхности (рис. 4.6). Формула (4.1) легко получается с использованием теоремы Гаусса, так же как и (2.20б), с той лишь
разницей, что поток через одно из оснований
цилиндра (внутри металла) отсутствует:
% #
1
#
(4.2)
Как показывает опыт, поверхностная плотность заряда особенно велика на заостренных участках поверхности (выпуклых участках
с малым радиусом кривизны). Соответственно
вблизи этих участков велика и напряженность
Рис. 4.6
электрического поля. Это можно продемонстрировать, зарядив металлический цилиндр, у которого вместо оснований находятся две конические поверхности (одна из них заглублена внутрь тела и не
видна) (рис. 4.7). Касаясь металлическим шариком разных участков заряженной поверхности и затем после каждого касания перенося заряд шарика на
электроскоп, убеждаемся, что наибольший заряд переносится после касания
острия, а наименьший заряд — после касания заглубленной части поверхности
тела.
Возникновение большой напряженности вблизи заостренных заряженных
тел сопровождается характерным потрескиванием, обусловленным пробоем
воздуха. В результате образуются положительные ионы и электроны, которые
начинают взаимодействовать с зарядами на острие.
Если острие заряжено положительно, то ионы, отталкиваясь от острия,
создадут электрический ветер. На острие со стороны ионов будет действовать
сила отталкивания. Электроны будут осаждаться на острие, уменьшая его
заряд. В этом случае говорят, что заряды стекают с острия.
Электрический ветер можно продемонстрировать, если металлический
предмет с острием непрерывно заряжать от электрофорной машины, а рядом
0
#
0
61
Лекция 4
Рис. 4.7
с острием расположить пламя свечи (рис. 4.8). Когда диски машины начинают
вращаться, то ветер от острия «задувает» пламя свечи.
Рис. 4.8
Рис. 4.9
Если подключить к машине колесо Франклина, состоящее из четырех
изогнутых спиц с заостренными концами (рис. 4.9), то оно под действием
силы отталкивания начнет вращаться.
Рассмотрим теперь два важных примера электростатической индукции.
Пример 1. Если в однородное поле с напряженностью %0 помещена
перпендикулярно его силовым линиям плоскопараллельная бесконечно большая металлическая пластина, то в результате индукции на ее поверхностях появятся заряды противоположного знака с постоянной поверхностной
плотностью ! и ! , как это изображено на рис. 4.10. Напряженность
62
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
индукционного поля %инд внутри пластины равна сумме напряженностей полей, создаваемых тонкими заряженными поверхностными слоями (см. (2.20)):
%инд ! 0 , а вне пластины индукционное поле отсутствует. Поэтому внутри пластины напряженность поля
%
%0 %инд
%0 ! 0
(4.3)
0, то
Поскольку внутри пластины %
%0
%инд и !
0 %0 . Вне пластины
%
%0 . Линии равного потенциала, изображенные штриховыми линиями, параллельны
друг другу.
Пример 2. Поместим в однородное поле
с напряженностью %0 металлический шар раРис. 4.10
диуса . Поскольку индукционное поле внутри
шара должно скомпенсировать внешнее поле, то это, как следует из (3.32),
может быть осуществимо, если индукционное поле будет однородным полем
Лоренца: %инд !0 3 0 %0 , а поверхностная плотность зарядов распределена неравномерно по поверхности
в соответствии с (3.31):
! "
!0
"
!
3 0 %0
"
(4.4)
На рис. 4.11 изображены структура
линий поля и линий равного потенциала (штриховые линии). Первоначально однородное поле значительно видоизменяется из-за появления индуцированных поверхностных зарядов (4.4).
Рис. 4.12
Рис. 4.11
Лекция 4
63
Еще более сложную структуру приобретает поле, когда незаряженный шар
попадает в неоднородное поле положительно заряженного шара (рис. 4.12).
Здесь желтым цветом изображены линии поля, а голубым цветом — линии
равного потенциала. Индукционное поле незаряженного шара приводит
к перераспределению зарядов по поверхности заряженного шара.
Практическое применение электростатической индукции. С незапамятных времен для предотвращения поражающего действия молнии устанавливались громоотводы (молниеотводы). Как правило, стационарный громоотвод представляет собой закопанную в землю на глубину нескольких метров
высокую мачту, на верхнем конце которой находится тонкий заостренный
стержень. Когда во время грозы напряженность поля, создаваемого атмосферными зарядами вблизи острия, превышает %пр 3 106 В/м, возникает пробой
воздуха и электрический разряд. В результате «удара молнии в громоотвод»
атмосферные заряды уходят в землю.
Отсутствие поля в металлах позволяет осуществить электростатическое
экранирование приборов, помещений и пр. Оно сводится к замыканию электростатического поля на поверхность металлического экрана и отводу электрических зарядов в землю или на корпус прибора. Поэтому необходимо
заземлять электростатический экран.
В 1836 г. английский физик, один из создателей теории электромагнетизма М. Фарадей использовал заземленную клетку из хорошо проводящего
материала для экранирования аппаратуры от внешних электромагнитных
полей. Хотя клетка Фарадея хорошо защищает лишь от электростатического
поля, тем не менее, как будет показано далее, в области высоких частот сетка
частично отражает электромагнитные волны, а частично их поглощает.
Реактивное действие струи электронного ветра используется в ионных
двигателях. Первый такой двигатель был построен в США в 1960 г. Принцип
его работы основан на ионизации газа (аргона или водорода) и последующего
разгона ионов в электростатическом поле до скоростей около 200 км/с.
Вначале газ подается в ионизатор, в котором он при бомбардировке
высокоэнергетическими электронами ионизируется, и образуется смесь из
положительных ионов и отрицательных электронов. Для удаления электронов
в камеру помещается трубка с катодными сетками, которая притягивает
к себе электроны.
Положительные ионы притягиваются к системе извлечения, состоящей из
2 или 3 сеток, между которыми поддерживается высокая разность потенциалов порядка тысячи вольт. Здесь они ускоряются и выбрасываются в окружающее пространство. На рис. 4.13 показана фотография ионного двигателя.
Струя ионов, прошедших сквозь последнюю сетку, из-за высокой температуры
плазмы светится.
Поскольку скорость движения ионов более чем в пятьдесят раз больше
скорости истечения струи газа ракетных двигателей, то для достижения той
же тяги можно в пятьдесят раз уменьшить расход выбрасываемой массы
в единицу времени.
Однако для ионизации газа требуется энергия. В современных летательных аппаратах она получается за счет солнечных батарей (см. далее).
64
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Рис. 4.13
Недостаток созданных в настоящее время двигателей — очень слабая тяга
(порядка 50–100 миллиньютонов).
Поэтому ионный двигатель не может быть использован для космического
старта. Однако после разгона ракеты до третьей космической скорости при
достаточно долгой работе двигателя, наличия газа и электроэнергии (от
ядерных источников) можно разогнать космический аппарат до скоростей,
недостижимых с помощью ракетных двигателей.
В настоящее время с помощью ионных двигателей осуществляют коррекцию скорости и параметров орбиты космического корабля.
Дипольный момент проводящего шара во внешнем поле. Рассчитаем
дипольный момент небольшого проводящего шара, помещенного во внешнее
однородное поле с напряженностью %0 (рис. 4.14). Направим внешнее поле
, 0, ".
вдоль оси )- и воспользуемся сферической системой координат (
Элементарный дипольный момент, образующий угол " с внешним полем, по величине будет равен
"
! " # 2 ,
(4.5)
4
3 !0
3
(4.6)
где ! " задается формулой (4.4), эле2 0
" ".
мент площади #
В
силу
симметрии
задачи
суммироРис. 4.14
вание всех элементарных дипольных моментов сведется к суммированию проекции дипольных моментов на ось )- ,
поэтому дипольный момент шара
"
"
2!
3
2
0
0
Учитывая, что !0
2
2
"
0
" "
3 0 %0 , окончательно получим
0 4
3
%0
(4.7)
65
Лекция 4
Этой формулой мы еще воспользуемся для оценки поляризуемости молекул
диэлектрика.
Время установления электростатического равновесия. Обсудим вопрос о времени установления электростатического равновесия в металлах.
При включении внешнего поля с напряженностью %0 в момент времени 0 свободные электроны металла начинают двигаться с ускорением
2
%0 в течение времени , пока не произойдет столкновения с атомами решетки (см. лекцию 21). К этому моменту времени электрон приобретает
максимальную скорость 4
%0 . При столкновении электроны передают свой импульс решетке, после чего начинают вновь двигаться ускоренно. Такое движение называется дрейфом.
Скорость дрейфа 4 12 4 , поэтому
за время электрон переместится на
расстояние
0
(4.8)
2
Здесь — эффективная масса электрона.
Эта масса, как будет показано в лекции 22,
учитывает действие на электрон ионов кристаллической решетки и может отличаться
от массы свободного электрона.
На рис. 4.15 схематично изображены
неподвижные ионы и смещенные электроны
в первоначально электрически нейтральном
слое металла. Два разноименно заряженных
слоя создают встречное индукционное поле
с напряженностью
5
4
%инд
0
0
2 0
2 0
Рис. 4.15
20
%0 ,
(4.9)
где — концентрация электронов, # — площадь поверхности слоя, перпендикулярного внешнему полю,
2
!
(4.10)
— удельная электропроводность металла (см. лекцию 21).
Индукционное поле скомпенсирует внешнее поле в момент времени 0 ,
для которого из (4.9) получаем
0
20
(4.11)
Соотношение (4.11) позволяет грубо оценить время 0 , поскольку не
учитывалось, что в процессе смещения на электроны будет действовать
уменьшающееся со временем суммарное поле %0 %инд , и их движение не
будет равноускоренным.
Полагая ! 107 Ом 1 м 1 ,получаем 0 10 18 c.
3 В. А. Алешкевич
66
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Диэлектрик в электростатическом поле. К диэлектрикам относятся
все газы, некоторые жидкости (дистиллированная вода, масла, бензол и др.)
и твердые тела (стекло, фарфор, слюда и др.). Термин «диэлектрик» был
введен в 1837 г. M. Фарадеем.
В диэлектрике нет свободных электронов, поэтому под действием внешнего поля происходит небольшое смещение ионов и электронов. Это смещение
будет происходить по-разному в зависимости от того, обладает или нет (в отсутствие поля) молекула диэлектрика собственным дипольным моментом 0 .
1) У ряда молекул (Н2 О, CO, N2 O,
S2 O, NН, HCl, . . .) «центры» положительного и отрицательного зарядов смещены относительно друг друга, поэтому в отсутствие внешнего поля они
имеют собственный дипольный момент.
Молекулы, обладающие электрическим
дипольным моментом, называют полярРис. 4.16
ными, или дипольными.
По порядку величины этот момент равен произведению модуля заряда
электрона на размер атома: 0 10 19 10 10 10 29 Кл м. Полярные молекулы под действием сил и будут стремиться развернуться так, чтобы
дипольный момент 0 0 стал параллелен вектору 0 (рис. 4.16). Строгому выстраиванию дипольных моментов молекул препятствует их тепловое
движение. На рис. 4.17 схематично показаны ориентации дипольных молекул
в отсутствие (а) и при наложении (б)
внешнего поля.
2) Молекулы (Н2 , N2, O2 , CO2 . . .) не
обладают дипольным моментом, поэтому называются неполярными, или бездипольными. Под действием внешнего
поля положительные и отрицательные
заряды будут смещаться в разные стороны на расстояние порядка размера
атома. В результате неполярная молекула приобретет дипольный момент
0 0 ,
(4.12)
где — поляризуемость молекулы. Если
воспользоваться формулой (4.7) и поло10 10 м, то 4 3
жить в ней
29
3
10
м . В поле с %0 103 В/м ди10 37 Кл м, что
польный момент
Рис. 4.17
намного меньше величины 0 .
В обоих случаях во внешнем поле диэлектрик поляризуется. Совершенно
понятно, что если поместить диэлектрик во внешнее поле, то для удержания
67
Лекция 4
диэлектрика в поляризованном состоянии внутри него должно существовать электрическое поле, действующее на молекулы. Это поле является
суперпозицией внешнего и индукционного полей.
Вектор поляризации. Количественно поляризация диэлектрика описывается дипольным моментом единицы объема, или вектором поляризации . Хотя механизмы поляризации в ситуациях 1 (механизм ориентационной поляризации) и 2 (механизм поляризации электронного смещения)
различны, опыт показывает, что при напряженности поля в диэлектрике
%
%ат 1011 В/м (%ат — напряженность внутриатомного поля, удерживающего электрон в атоме на первой боровской орбите) дипольный момент +
пропорционален % .
Для изотропных диэлектриков эта пропорциональная связь записывается
в виде
0 6,
(4.13)
где 6 — диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.
Еще раз подчеркнем, что в (4.13) стоит напряженность поля в диэлектрике, являющегося суммой внешнего и индуцированного полей.
Диэлектрическая проницаемость. Рассмотрим простейший случай,
когда в однородное поле с напряженностью %0 помещена перпендикулярно
его силовым линиям плоскопараллельная большая диэлектрическая пластина.
В результате поляризации на ее поверхностях появятся нескомпенсированные
связанные заряды противоположного знака с постоянной поверхностной
плотностью ! и ! , как это изображено на рис. 4.18. Напряженность
Рис. 4.18
индукционного поля %инд внутри диэлектрика равна сумме напряженностей
полей, создаваемых тонкими заряженными поверхностными слоями (см. 2.20):
%инд ! 0 , а вне диэлектрика индукционное поле отсутствует. Поэтому
внутри пластины напряженность поля (по аналогии с (4.3))
%
3*
%0 %инд
%0
0
(4.14)
68
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Если толщина пластины равна , а ее площадь # , то дипольный момент
всей пластины пл ! # , а дипольный момент единицы объема
+ !
Поэтому в векторном виде поле в диэлектрической пластине
0
инд
0
(4.15)
(4.16)
0
Подставляя (4.13) в (4.16), получаем
0
Здесь
0
(4.17)
1
16
(4.18)
— диэлектрическая проницаемость.
Отметим, что связь (4.18) между двумя константами носит универсальный характер, в то время как формулы (4.16) и (4.17) справедливы лишь
в рассматриваемом случае. В частности, поле в диэлектрике в общем случае
неоднородно и зависит не только от величины (как в (4.17)), но и от
формы диэлектрика (см. далее).
Вектор поляризации и связанные заряды. Обобщим формулу (4.15)
на случай поляризации диэлектрика произвольной формы. Пусть имеется
поляризованный диэлектрик произвольной формы и известен вектор поляризации в каждой его точке (рис. 4.19).
Вблизи поверхности # диэлектрика мысленно выделим малый объем в виде косоугольного параллелепипеда, так, как показано на фрагменте рисунка
и введем единичный вектор , перпендикулярный к поверхности. Вектор поляризации этого объема связан с поверхностной плотностью связанных зарядов
соотношением ! # , а объем
' # . Поэтому
+
,
!
!
или
! +
(4.19)
Рис. 4.19
Таким образом, поверхностная плотность связанного заряда в некоторой точке равна нормальной составляющей вектора поляризации в этой
точке.
Вычислим далее поток вектора поляризации через замкнутую поверхность. Этот поток, как следует из (4.19), будет равен всему поверхностному
заряду. Но так как диэлектрик электронейтрален, то в его объеме останется
заряд противоположного знака:
#
Заряд называется объемным связанным зарядом.
(4.20)
69
Лекция 4
Установим связь между вектором поляризации и объемными связанными
зарядами в одной и той же точке пространства. Для этого рассмотрим малый
объем в виде кубика со сторонами *, , , - и (по аналогии с (2.26))
запишем для него уравнение (4.20):
Разделим обе части равенства на объем * , - и, устремляя его к нулю,
получаем
"
"
"
(4.22)
Если поляризация однородна (
, то объемных зарядов нет, а есть
лишь поверхностные заряды.
Однородно поляризованный шар. Рассмотрим однородно поляризованный диэлектрический шар (рис. 4.20). Если вектор поляризации
,
то поверхностная плотность связанных зарядов !
+ +
". Тогда
создаваемое ими однородное индукционное поле направлено в противоположном направлении относительно вектора и, в соответствии с (3.32), равно
инд
(4.23)
30
Нетрудно показать, что такая поляризация шара достигается, если шар
помещен во внешнее однородное электрическое поле с напряженностью 0 .
При однородной поляризации поле
внутри шара будет также однородным
и равным
0
инд
0
1
3 0
Рис. 4.20
(4.24)
0 6
Но в однородном поле поляризация будет также однородной:
(4.13). Следовательно, замкнув логический круг, мы доказали справедливость
нашего предположения.
Решая совместно (4.24) и (4.13), находим поле внутри шара:
0
1
3
3 0
2
(4.25)
Фактор формы. Выражения (4.16) и (4.24) можно объединить, записав
их в виде
0 инд 0
(4.26)
0
70
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Здесь безразмерный коэффициент, который называется фактор формы.
Для пластины 1, a для шара 13. Поскольку 0 6, то, подставляя это соотношение в (4.26), получаем
0
(4.27)
1#
Расчеты показывает, что во внешнем однородном поле однородно поляризуется лишь диэлектрик в форме эллипсоида. Плоскость, шар и цилиндр
являются его предельными формами. Поле внутри длинного цилиндрического
диэлектрика, расположенного поперек внешнего однородного поля, определяется формулой (4.26), при этом 12 , а если цилиндр ориентировать вдоль
внешнего поля, то 0.
На рис. 4.21 изображен диэлектрик в форме эллипсоида, который помещен
во внешнее однородное поле 0 . Для расчета поля в диэлектрике нужно
расписать соотношения (4.26) и (4.27) в проекциях на координатные оси,
которые направим вдоль полуосей эллипсоида. Разложим внешнее поле на три
компоненты относительно этой системы координат. Тогда компоненты поля
в диэлектрике будут равны
0
"
%
%0
;
0
1 #
0
"
%
%0
; (4.28)
0
1 #
"
0
%
%0
0
1 #
Здесь , , — факторы формы эллипсоида, значения которых определяются соотношением длин его полуосей. Можно показать, что они связаны соотношением
Рис. 4.21
1
(4.29)
Если эллипсоид вытянут вдоль оси )- , как это изображено на рисунке,
то , . Векторы и при произвольной ориентации эллипсоида
составляют некоторый угол с вектором 0 . Как будет показано ниже, это
приводит к возникновению момента сил, действующего на диэлектрический
эллипсоид.
Из (4.29) сразу следует, что у шара
13, а у длинного
цилиндра
12,
0.
Вектор индукции. Связанные заряды (или вместе со свободными
зарядами (или ) являются источниками поля. Поэтому формула (2.19) при
наличии диэлектрика примет вид
где учтено, что
0
0
0
1
0
(формула (4.20)).
,
(4.30)
71
Лекция 4
Введем вектор индукции
0
(4.31)
Удобство его использования состоит в том, что поток вектора индукции
через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов в объеме,
ограниченном этой поверхностью:
0
(4.32)
Как и (2.19), эта формула имеет фундаментальное значение и является
одним из уравнений Максвелла в интегральной форме при наличии среды.
Соответственно формула (2.27) примет вид
0 0 0
(формула (4.22)).
1
0
,
(4.33)
где учтено, что
Следовательно, уравнение Максвелла в дифференциальной форме получается в виде
0
(4.34)
Уравнения (4.32) и (4.34) имеют фундаментальное значение в теории
электромагнетизма, т.к. справедливы для любого электрического поля.
Они являются уравнениями Максвелла в среде и показывают, что источниками поля индукции являются свободные заряды. Поэтому в ряде
случаев бывает значительно проще рассчитать индукцию, нежели чем напряженность поля, поскольку свободные заряды бывают заданными.
Связь между индукцией и напряженностью получается из (4.13) и (4.31):
0
0 0 6
0 1 6
0 ,
(4.35)
где 1 6 — диэлектрическая проницаемость (см. (4.18)).
Индукция электрического поля является суммой разных по физическому
смыслу слагаемых, поэтому не имеет глубокого физического смысла. Однако
использование векторного поля во многих случаях упрощает расчеты
электрического поля в диэлектриках.
ЛЕКЦИЯ 5
Граничные условия для векторов и . Получим соотношения, связывающие векторы напряженности и индукции на границе раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями 1 и 2 . Для простоты возьмем
диэлектрическую пластину, состоящую из двух клиновидных половинок разных диэлектриков, и поместим ее в однородное поле с напряженностью 0
так, как показано на рис. 5.1. При поляризации диэлектриков на внешних границах появятся связанные заряды разного знака с поверхностными
плотностями !1 0 и !2 ( 0, а на границе их
раздела появятся связанные заряды разного
знака с поверхностными плотностями
!1
+1 ( 0 и !2
+2 0,
(5.1)
где +1 и +2 — проекции векторов поляризации на нормаль к границе раздела, направленной из первой среды во вторую.
Введем единичный вектор τ (тангенциальный вектор), направленный вдоль границы раздела, которая наклонена под углом
к внешней поверхности пластины. Поле
в каждом из диэлектриков будет равно сумме
внешнего и индукционного полей, а последнее
поле создается четырьмя заряженными слояРис. 5.1
ми поверхностных зарядов.
Поэтому нормальные составляющие поля в каждом из диэлектриков будут
равны
%1
%0
1
%2
%0
1
Тогда
%1 %2
20
20
1
0
2
1
1
2
2
"1
20
0
20
2
,
(5.2)
72
(5.3)
2
"2
Следовательно,
0 %1 +1
0 %2 +2 , или 71
Это равенство означает, что нормальная компонента вектора индукции на
границе раздела двух диэлектриков непрерывна.
73
Лекция 5
Тангенциальные компоненты поля в каждом из диэлектриков будут одинаковы:
2
%1 %2 %0
1
,
(5.4)
20
поскольку граница раздела не вносит вклада в тангенциальную составляющую индукционного поля. Таким образом, тангенциальная компонента вектора напряженности на границе раздела двух диэлектриков непрерывна.
В самом общем случае непрерывность тангенциальной компоненты следует из условия
потенци
альности электростатического поля:
0
(см. (3.6)). Действительно, если взять контур интегрирования в виде небольшого прямоугольника
, вытянутого вдоль границы раздела (рис. 5.2),
то при
условие (3.6) примет вид
Рис. 5.2
%1 %2
0, или %1
%2
(5.5)
Так как 71
0 1 %1 , 72
0 2 %2 , то тангенциальная компонента
вектора индукции при 1 2 претерпевает разрыв.
Граничное условие для нормальной компоненты вектора индукции при
наличии свободных зарядов на границе раздела получается из теоремы Гаусса
(см. (4.32)), если интегрирование проводить по поверх
ности небольшого цилиндра с площадью основания # и высотой
(рис. 5.3). Тогда
71 # 72 #
!#
или 72 71
!
#
(5.6)
Здесь знак минус перед 71 # возникает из-за того, что внешняя нормаль
к нижнему основанию цилиндра направлена противоположно нормали .
Разрыв нормальной компоненты вектора индукции происходит лишь при наличии свободных зарядов на границе раздела.
В отсутствие свободных зарядов нормальная компонента вектора индукции непрерывна.
Так как 71 0 1 %1 , 72 0 2 %2 , то
нормальная компонента вектора напряженности при 1 2 претерпевает разрыв.
Рис. 5.3
Соотношения (5.5) и (5.6) называются граничными условиями для векторов и .
Преломление линий напряженности и индукции. Из граничных условий легко получить закон преломления линий вектора напряженности электрического поля (вектора индукции) на границе раздела двух диэлектриков.
На рис. 5.4 а изображены линии однородного электрического поля, а на
рис. 5.4 б — линии индукции для случая 1 ( 2 . Из-за появления связанных зарядов !1
+1 ( 0 и !2
+2 0 возникает индукционное поле инд , и линии испытывают излом. Как отмечалось в предыдущей лекции,
74
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
источниками поля индукции являются свободные заряды (см. (4.32)
или (4.34)). Поэтому линии вектора неразрывны, в то время как линии
вектора претерпевают разрыв: густота линий во второй среде (а значит
и напряженность поля) больше, чем в первой.
Рис. 5.4
Найдем соотношения между углом «падения» 1 и углом «преломления» 2 линий. Граничное условие (5.5) примет вид %1
1 %2
2 ,
а граничное условие (5.6) в отсутствие свободных зарядов с учетом (4.35)
запишем как 0 1 %1
1 0 2 %2
1 . Деля первое равенство на второе,
получаем закон преломления линий:
1 1
2 2
(5.7)
Рассмотрим несколько важных примеров.
Пример 1. Поместим в однородное поле 0 диэлектрическую пластину,
нормаль к которой совпадает с вектором напряженности поля (рис. 5.5).
Поскольку диэлектрическая проницаемость пластины 2 заметно больше
диэлектрической проницаемости окружающего ее воздуха ( 1 1, то линии полного поля (внешнего + индукционного) претерпевают разрывы на
поверхностях пластины, где находятся связанные заряды ! и ! (а).
Рис. 5.5
Так как в изотропной среде , то ход линий индукции будет таким же, однако они будут неразрывны (б). Поле вне пластины %1
%0 ,
%0 ! 0 %0 +2 0 , т.к ! +2 . Тогда индукция
а в пластине %2
72 0 %2 +2 0 %0 71 .
Лекция 5
75
Пример 2. Погрузим диэлектрический шар с диэлектрической проницаемостью 2 в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 1 ,
в котором до погружения существовало однородное электростатическое поле.
В результате поляризации шара поле изменится (рис. 5.6). Ситуация (а)
соответствует случаю 1 2 , а ситуация (б) — случаю 1 ( 2 . Силовые
Рис. 5.6
линии не перпендикулярны поверхности шара, а их излом подчиняется соотношению (5.7). В обоих случаях поле внутри шара однородно, а поверхностный заряд, равный сумме поверхностных зарядов соприкасающихся
сред, распределен по закону ! " !0
" (см. (3.31)). В ситуации (а)
справа будет положительный (!0 ( 0, а слева отрицательный поверхностный связанный заряд, а в ситуации (б) — наоборот. Это следует из соотно !
шений !0
!01
+1
02
+2 0 1 1%1 0 2
1%2 и 71
0 1 %1
72
0 2 %2 . Тогда
1
!0 0 2
%1
(5.8)
2
Пример 3. Поместим в однородное поле диэлектрический эллипсоид,
снаружи которого находится воздух
(рис. 5.7). В результате поляризации
поле вне его исказится, а внутри поРис. 5.7
ле будет однородным в соответствии
с (4.28). На поверхности эллипсоида
происходит излом силовых линий и их разрыв. Если эллипсоид ориентирован
так, что любая из трех его полуосей становится направленной вдоль внешнего
поля, то поле внутри эллипсоида будет также направлено вдоль внешнего
поля.
Поле в однородном диэлектрике. Уравнение (4.34) может быть представлено в виде 0 . Если во всем пространстве диэлектрическая проницаемость не зависит от координат (однородный диэлектрик,
отсутствуют границы, включая границы раздела разных диэлектриков), то мы
вправе записать
0
(5.9)
76
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
0, то уравнение Пуассона примет вид
0 0
(5.10)
Эти соотношения позволяют сделать вывод: поле в безграничном однородном диэлектрике (
уменьшается в раз по сравнению с полем
в вакууме. На практике это означает, что влияние связанных зарядов на
удаленных границах исчезающее мало.
В частности, напряженность поля точечного заряда в безграничном диэлектрике, в отличие от (2.12), будет равна
1
1
(5.11)
3
3
Поскольку
Действительно, если маленький заряженный шарик радиусом (например,
имеющий положительный заряд погрузить в жидкий диэлектрик с проницаемостью , то на границе диэлектрика, примыкающей к шарику, образуется
отрицательный поверхностный заряд !0 + 0 1% . Поскольку
0 4 2
.
внешние границы далеки, то напряженность поля %
2
Исключая поверхностный заряд, из этих соотношений получаем % 2 .
Силы, действующие на диполь. Для описания механизмов поляризации
диэлектрика и действующих на него сил со стороны внешнего поля изучим
вначале воздействие внешнего поля на элементарный диполь. Предположим
вначале, что диполь находится в однородном поле с напряженностью 0
(рис. 5.8 а). Сумма сил, действующих на диполь
0, а момент
сил
0 0 ,
(5.12)
где — дипольный момент. Момент сил стремится повернуть диполь
в направлении внешнего поля.
Рис. 5.8
Это вывод подтверждается экспериментом, в котором диэлектрик сигарообразной формы (например, изготовленный из парафина) подвешивается за
середину на нити и вносится в пространство между двумя параллельными
металлическими пластинами (в плоский конденсатор). Одна пластина заземлена, а вторая соединена с одним из полюсов заземленной электрофорной
машины. Когда диски машины начинают вращаться, то «сигара» устанавливается перпендикулярно плоскостям пластин.
Если поле неоднородно (0 *, , , - , то на диполь продолжает действовать
как момент сил, так и сила 0 (рис. 5.8 б). Чтобы вычислить
77
Лекция 5
эту силу, будем считать что отрицательный заряд имеет координаты *, , , - ,
а положительный заряд — * , , , - . Тогда
0 *, , , -
0
0
0
0 (5.13)
Здесь — оператор градиента (см. (3.19))
В неоднородном поле диполь ориентируется вдоль поля и затягивается
в область с большей напряженностью поля.
Вычислим теперь силу, действующую на малый объем ' диэлектрика.
Очевидно, что она равна сумме сил, действующих на дипольные моменты
отдельных атомов или молекул, поэтому
0 * , , , -
'
,
(5.14)
где напряженность поля внутри диэлектрика, вообще говоря, отличается от напряженности 0 внешнего поля. Используя соотношение
0 1, математическое тождество 12 2
и условие потенциальности 0, для силы , действующей на единицу
объема диэлектрика, получаем
0 12
(5.15)
Эта сила не зависит от направления поля и направлена вдоль градиента квадрата напряженности поля. Этим объясняется тот факт, что
бумажные листки притягиваются к заряженному шарику вне зависимости от
знака его заряда.
Формула (5.15) позволяет рассчитать лишь объемную силу. Между тем
на границе раздела диэлектриков могут возникать и поверхностные силы.
Например, интересно ведет себя диэлектрический шар, погруженный в жидкий диэлектрик. При 1 2 в однородном поле он будет растягиваться,
поскольку, как следует из рис. 5.6 а, на правой границе раздела суммарный
поверхностный заряд будет положительным, а на левой — отрицательным.
Следовательно, в неоднородном поле, увеличивающемся слева направо, шар
(подобно листкам) будет затягиваться в область с большей напряженностью
поля (рис. 5.9 а). Если 1 ( 2 , то в однородном поле шар будет сдавливаться,
поскольку теперь на правой границе раздела суммарный поверхностный заряд
Рис. 5.9
78
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
будет отрицательным, а на левой — положительным (рис. 5.5 б). Соответственно в неоднородном поле он будет выталкиваться из области с большей
напряженностью (рис. 5.9 б).
Последний вывод эффектно демонстрируется в опыте, схема которого
изображена на рис. 5.10. В стеклянный сосуд, заполненный керосином, опускают электрод с шариком на конце и погружают трубку (пульверизатор),
создающую с помощью резиновой груши цепочку воздушных пузырьков,
всплывающих вблизи шарика. Когда на электрод подается некоторый потенциал от электрофорной машины, то воздушные пузырьки отталкиваются от
шарика.
Рис. 5.10
В другом опыте диэлектрический шарик подвешивается на нити и помещается в неоднородное электрическое поле, создаваемое разноименно заряженными шариком и плоскостью (рис. 5.11). В воздухе шарик притягивается
к маленькому электроду, где напряженность поля велика. При погружении
шарика в керосин он, наоборот, будет отталкиваться.
Рис. 5.11
В воздухе, как отмечалось выше, парафиновый эллипсоид выстраивается
вдоль поля. Это происходит потому, что диэлектрическая проницаемость
парафина 2 больше диэлектрической проницаемости воздуха 1 . В этом
случае на него действует пара сил так, как изображено на рис. 5.12 а, поэтому
79
Лекция 5
момент сил стремится развернуть эллипсоид вдоль поля. Момент сил при
этом обратится в нуль, а эллипсоид будет подвержен растяжению вдоль поля.
Рис. 5.12
При погружении парафинового эллипсоида в кювету с дистиллированной водой он будет устанавливаться поперек поля, так как диэлектрическая
проницаемость парафина 2 меньше диэлектрической проницаемости дистиллированной воды 1 . Поскольку пара сил приложена так, как показано на
рис. 5.12 б, то момент сил развернет эллипсоид поперек поля (ситуация в).
В этом положении момент сил будет равен нулю, а эллипсоид будет сдавлен
с обеих сторон.
Отметим, что знак суммарного поверхностного заряда на границе раздела,
показанного на рис. 5.12, определяется знаком заряда диэлектрика с большей
диэлектрической проницаемостью.
Рассмотренные опыты показывают, что на границе раздела двух диэлектриков, помещенных во внешнее поле, возникает сила, направленная в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.
Более подробно об этой силе речь пойдет ниже.
Энергия диполя во внешнем поле. Поскольку на элементарный диполь во внешнем поле 0 действует момент сил (5.12), то при повороте
диполя на угол ( — угол между векторами и 0 его потенциальная
энергия увеличится на величину 3
8 %0
. Если
принять, что 30 0 при 0, то потенциальная энергия диполя
3
8
%0
0
30 %0
0
(5.16)
0
Энергия поля. Как отмечалось в лекции 3, собственная энергия заря1 Ê
0 ' (см. 3.35). Предположим, что в диэлекженного тела 3cб
2
трике большого объема ' распределен свободный заряд с плотностью .
80
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Эта плотность связана с индукцией диэлектрика соотношением (4.34):
. Поэтому
1
3cб
0 '
(5.17)
2
Используем далее математическое тождество 0
, равенство
0 и перепишем (5.17) в виде
0
1
2
3cб
'
12 0
'
0
(5.18)
Второй интеграл по объему по теореме Гаусса может быть заменен интегралом по поверхности # , ограничивающей этот объем:
0
'
0 #
(5.19)
Если свободные заряды с суммарным зарядом расположены в середине
диэлектрика, а линейный размер диэлектрика равен 5, то на егоÊ поверхности
# 52 потенциал 0 5, а индукция 7 52 . Поэтому 0 #
2 2 5. При 5 интеграл (5.19) будет стремиться к нулю и
3cб
1
2
'
3
(5.20)
В эту формулу не входят свободные заряды и потенциалы создаваемых ими
полей. Из нее следует, что для создания в объеме ' диэлектрика электрического поля и вызываемой им индукции необходимо затратить энергию,
которая аккумулируется в этом объеме. Поэтому эта энергия является
энергией 3 электрического поля.
В единице объема диэлектрика запасается энергия
9
1
,
2
(5.21)
которая называется объемной плотностью энергии электрического поля.
Термин «электрическое поле» употреблен не случайно. Как будет показано
ниже, формулы (5.20) и (5.21) носят универсальный характер и справедливы
не только для электростатического, но и для переменного электрического
поля.
Следует подчеркнуть, что в (5.21) вектор индукции может не совпадать
по направлению с вектором напряженности, как это имеет место в анизотропном диэлектрике (см. далее). В изотропном диэлектрике 0 , поэтому
объемная плотность энергии
1
9
0 % 2
(5.22)
2
В качестве иллюстрации рассмотрим примеры.
Пример 4. Вычислим энергию электрического поля, создаваемого шаром
радиуса , который равномерно заряжен по поверхности зарядом . Поскольку поле существует во всем окружающем пространстве и напряженность
81
Лекция 5
2 , то
поля %
3
9 '
1
% 2 '
2 0
1
2 0
42
2
1 2
,
2
что совпадает с (3.36).
Пример 5. Определим энергию электрического поля, создаваемого плоским конденсатором, пространство между обкладками которого заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Если поверхностные
плотности зарядов пластин, находящихся на расстоянии друг от друга,
равны ! и ! , а площадь пластины # , то напряженность поля в диэлектрике,
согласно (2.22б) и (4.17), равна
%
а индукция
7
0
0 %
,
(5.23)
!
Поскольку объемная плотность энергии 9
поля
3
9#
1 2
#
2 0
1
!# %
2
(5.24)
1
% 7
2
2
1
, то энергия
2 0
1
01 02 ,
2
(5.25)
что совпадает с (3.37).
Поверхностные силы. Если удалить диэлектрик из заряженного конденсатора, то разность потенциалов и энергия поля, как следует из (5.25),
возрастет в раз (рис. 5.13). Из энергетических соображений следует, что для
удаления диэлектрика необходимо совершить работу против электрических
сил, затягивающих диэлектрик в конденсатор. Эта работа равна изменению
энергии электрического поля: . 13 .
Рис. 5.13
Причина возникновения этих сил кроется в неоднородности поля вблизи
краев пластин. На рис. 5.14 изображена диэлектрическая пластина, частично
82
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
заполняющая пространство между обкладками. Слева от обкладок поле
действует на связанные поляризационные заряды, и результирующая сила
направлена слева направо.
Рис. 5.14
Втягивание жидкого диэлектрика можно продемонстрировать, опустив
в сосуд с керосином две плоскопараллельные проводящие полоски, расстояние между которыми 2–3 мм (рис. 5.15) Если 01 02 1000В, то керосин
поднимается на небольшую высоту в пространстве между полосками.
Рис. 5.15
Чтобы вычислить эту силу, рассмотрим заряженный плоский конденсатор, между обкладками которого находятся два диэлектрика с проницаемостями 1 и 2 (рис. 5.16). Граница раздела между ними имеет
Рис. 5.16
83
Лекция 5
прямоугольное сечение 52 ( — расстояние между обкладками, 52 — ширина обкладки). Если координата сечения равна *, то заряд конденсатора
52 !1 * !2 51 * 51 — длина пластин). Тангенциальная составляющая вектора напряженности поля непрерывна: % !1 0 1 !2 0 2 , а ин!1 , 72 !2 . Поверхностные плотности !1 и !2
дукции различны: (71
зависят от координаты сечения, а полный заряд сохраняется.
Энергия поля в первом диэлектрике 31 12 % 71 52 *, во втором
32 12 % 72 52 51 *, полная энергия 3 31 32 .
Сместим мысленно (виртуально) сечение на малую величину Æ*. Соответствующее изменение полной энергии будет равно
Æ3
1
% 71
2
Æ31 Æ32
1
% 72
2
52 Æ*
(5.26)
Это изменение энергии равно с обратным знаком работе, совершаемой электрической силой :
Æ3 Æ*
(5.27)
Из последних двух выражений получается выражения для силы : , действующей на единицу площади границы раздела диэлектриков:
:
$
2
1
1
% 72 % 71
2
2
(5.28)
Таким образом, на границе раздела со стороны обоих диэлектриков действуют силы давления :1 12 % 71 и :2 12 % 72 . Сила давления
численно равна объемной плотности энергии, приходящейся на тангенциальную компоненту поля, и перпендикулярна силовой линии поля.
Если 1 ( 2 , то :1 ( :2 и суммарная сила направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.
Если граница раздела диэлектриков паРис. 5.17
раллельна обкладкам плоского конденсатора (рис. 5.17), то %1 ! 0 1 , %2 ! 0 2 ,
71
72
! , 31
12 %1 7 51 52 *, 32 12 %2 7 51
52 *, Æ3
Æ31 Æ32
12 %1 7 12 %2 7 51 52
Æ* Æ*. Поэтому
:
$
1 2
1
1
%2 7 %1 7
2
2
(5.29)
В этом случае на границе раздела со стороны обоих диэлектриков дей12 %1 7 и :2
ствуют силы притяжения (натяжения) границы: :1
12 %2 7. Сила натяжения численно равна объемной плотности энергии, приходящейся на нормальную компоненту поля, и направлена вдоль
силовой линии поля.
Если 1 ( 2 , то : ( 0. Поэтому диэлектрик с меньшей проницаемостью
«тянет на себя» границу сильнее, чем диэлектрик с большей проницаемостью.
84
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Величины :1 и :2 получили название максвелловсих давлений и натяжений. Дело в том, что в те времена Фарадей говорил о силовых линиях как
об упругих трубках, переносящих натяжение и давление. Следуя Фарадею,
Максвелл считал причиной электрических и магнитных явлений упругие
деформации гипотетической среды — эфира. Характерной особенностью сил
упругости является возможность сведения их к натяжениям (напряжениям),
возникающим в деформированных средах.
Исходя из таких представлений, Максвелл ввел тензор натяжений электромагнитного поля в среде. С помощью такого тензора система объемных
сил может быть заменена системой натяжений. Более подробно с тензором
натяжений можно познакомиться в курсе теоретической физики.
Общая задача электростатики. В самом общем виде решение электростатической задачи при наличии заряженных проводников и диэлектриков
сводится к следующему. Считается известной в каждой точке пространства
диэлектрическая проницаемость среды *, , , - . Кроме того, может быть
задана либо объемная плотность свободных зарядов *, , , - на проводниках, либо их потенциалы 0пр *, , , - или их асимптотики, либо возникает
смешанная ситуация, когда для одной части проводников заданы заряды,
а для другой части — потенциалы. Требуется рассчитать и 0 .
Поскольку 0, а 0 0, то уравнение (4.34) можно представить в виде
0 0 0
(5.30)
В однородном диэлектрике
, поэтому (5.30) переходит в уравнение Пуассона
0 0 ,
(5.31)
которое с перечисленными выше граничными условиями имеет единственное
решение.
Подчеркнем, что только в однородном диэлектрике (при отсутствии близкорасположенных
границ) потенциал и напряженность поля проводников уменьшаются в раз по сравнению с вакуумом.
В качестве примера рассчитаем потенциал и напряженность поля в случае диэлектрического шара
ε
радиусом
и диэлектрической проницаемостью ,
помещенного в однородное внешнее электростатическое поле с напряженностью 0 . Воспользуемся
сферической системой координат и направим ось )вдоль вектора 0 (рис. 5.18). Поскольку 0, то
с учетом осевой симметрии задачи уравнение Лапласа (3.21) примет вид
Рис. 5.18
1
0 12
2
"
0
2
(5.32)
85
Лекция 5
Его решение внутри шара 01 .1
" 11
"2 , а вне шара 02
2
.2
" 12
" , где четыре константы подлежат определению. Так
как при 0 потенциал должен быть конечен, то 11 0.
" - , то слагаемые с коэффициентами .1 и .2 опиПоскольку
.1
" .1 - , и вектор напряженности
сывают однородное поле. 01
.1 ( 0.
однородного поля внутри шара имеет лишь одну компоненту %1
Слагаемое с коэффициентом 12 описывает поле диполя (см. (3.13б)),
убывающее с расстоянием . При поле %2 должно совпадать с внеш". Следовательно,
ним однородным полем, поэтому 02 %0 - %0
.2 %0 .
На поверхности шара непрерывны потенциал: 01 02 , или
.1
"
" 12
%0
.1
2
,
%0
%1 ;
12
"
0
(5.33)
1
" 2 12 3
и нормальные компоненты индукции поля:
0
2
, или
(5.34)
Из (5.33) и (5.34) получаем
.1
30
2
1
2
3
%0
(5.35)
Таким образом
01
30
-,
2
%0 -
02
1
2
3
%0
2
%0 -
ш
,
2
(5.36)
где дипольный момент шара
ш
0
1
4
2
3
%0
0 2ш %0
(5.37)
1
3 (так же как
4
Поляризуемость диэлектрического шара 2ш
2
и проводящего шара) по порядку величины равна его объему. Поэтому поляризуемость атома (молекулы) диэлектрика при
10 10 м имеет величину
29
3
2 10
м . Эта оценка понадобится нам в следующей лекции при изучении
электронной теории поляризации диэлектриков.
Напряженность поля из (5.36) получается равной
01
3
0
,
02
3 ш5
ш
(5.38)
2
3
Таким образом, внутри шара поле однородно, как это раньше было отмечено в предыдущей лекции (формула (4.25)). Вне шара поле является
суперпозицией внешнего поля и индукционного поля диполя (см. 2.6).
Вектор поляризации диэлектрика
1
2
0 11
0
3 0
1
2 0
(5.39)
86
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Как и следовало ожидать, дипольный момент шара (5.37) равен произведению вектора поляризации (5.39) на объем шара.
Наконец, поверхностная плотность связанных зарядов
!
+
0 1%1
3 0
1
%
2 0
"
(5.40)
Метод зеркальных отображений. Единственность решения уравнения
Пуассона при наличии соответствующих граничных условий позволяет свести некоторые задачи электростатики к эквивалентным, но более простым
задачам. Если, например, имеется некоторая система точечных зарядов
(; 1, 2, 3, . . . , & ), которые находятся по одну сторону от заданной эквипотенциальной поверхности или границы раздела сред, то поле в этом полупространстве 1 иногда можно довольно просто рассчитать, поступив следующим образом. В полупространство 2 вносится такое же число зарядов ,
а в полупространство 1 — заряды . Расположение каждого из этих зарядов
соответствует положению мнимого изображения точечного предмета в зеркале, поверхность которого совпадает с данной поверхностью или границей
раздела. Подбором величин зарядов и можно добиться нужной величины
потенциала этой поверхности или выполнения граничных условий. В качестве
иллюстрации рассмотрим два примера.
Пример 6. Пусть положительный точечный заряд находится на высоте над бесконечной плоской проводящей поверхностью (протяженной
металлической пластиной). Требуется найти напряженность электрического
поля и поверхностную плотность индуцированных свободных зарядов.
В результате индукции положительные заряды уйдут на удаленные края
пластины, на ее поверхности будет каким-то образом распределен отрицательный заряд (рис. 5.19 а). Поскольку потенциал пластины равен нулю, то можно
рассмотреть эквивалентную задачу для нахождения поля над пластиной,
Рис. 5.19
убрав пластину, а вместо нее поместить под пластиной на расстоянии
заряд , являющийся электрическим изображением заряда (рис. 5.19 б).
Потенциал поля в точке .
0
1
1
(5.41)
87
Лекция 5
при выборе соответствующей системы координат позволяет рассчитать напряженность поля в каждой точке полупространства над плоскостью: 0.
В частности, вблизи поверхности пластины напряженность поля на расстоянии * от линии, соединяющей заряды (см. (2.5)),
% *
2 2 32
2
(5.42)
Поэтому поверхностная плотность индуцированного заряда, согласно
(4.1), равна
! * 0 % * 0 % *
(5.43)
2
2 2 32
Интегрируя (5.43) по поверхности пластины, вычисляем полный индуцированный отрицательный заряд:
!#
2
0
2
2 32
2* *
(5.44)
Здесь учтена осевая симметрия задачи, поэтому # 2* *. Этот заряд
полностью экранирует поле заряда в полупространстве под пластиной, где
напряженность поля равна нулю.
Пример 7. Пусть два полупространства с плоской границей между ними
заполнены диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями 1 и 2 .
В первом диэлектрике на расстоянии от границы находится положительный
точечный заряд . Требуется рассчитать напряженность поля в обоих диэлектриках и поверхностную плотность связанного заряда ! на границе раздела.
Как отмечалось ранее, поле точечного заряда в безграничной однородной
диэлектрической среде (
уменьшается в раз по сравнению с полем
в вакууме. В рассматриваемом случае необходим учет поля, создаваемого
поверхностными зарядами на границе раздела.
Для этого предположим, что в первой среде поле поверхностных зарядов
эквивалентно полю некоторого точечного заряда , помещенного «зеркально»
во вторую среду, поэтому, следуя (5.11), имеем
1
1
1
3
11 3
(5.45)
где и — радиусы-векторы, проведенные из местоположения зарядов и
в рассматриваемую точку.
Предположим далее, что поле во втором диэлектрике создается некоторым
зарядом , находящимся там же, где и заряд :
2
1
2
3
(5.46)
88
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
На границе раздела должны выполняться граничные условия: %1
(5.5) и 71 72 (5.6). Поэтому
%2
"
"
",
1
1
2
(5.47)
"
"
"
Здесь " — угол между радиусом-вектором и нормалью к границе раздела.
Из этих уравнений вычисляем фиктивные заряды и и, подставляя
в (5.45) и (5.46), находим
1
1
11 11 2 3 , 2 1 2 3
(5.48)
1 3
2
2
Поскольку с помощью двух фиктивных зарядов удалось выполнить граничные условия на всей границе раздела (при любых углах ", то сделанные
раньше предположения оправданы.
Если второй диэлектрик заменить проводящей плоскостью, то можно
1
положить 2 . Тогда 2
0, а напряженность поля 1
3
1
1
3 .
1
ЛЕКЦИЯ 6
Электронная теория поляризации диэлектриков. Рассмотрим теперь,
как связаны поляризуемость 6 или диэлектрическая проницаемость 1 6
с микроскопическими характеристиками диэлектриков. Вначале обратимся
к поляризации изотропных неполярных диэлектриков.
Неполярные диэлектрики. Под действием электрического поля молекула (атом) приобретает индуцированный дипольный момент
3
0
1
2 %эф
(6.1)
Здесь 2 — компонента тензора диэлектрической восприимчивости, или
поляризуемости молекулы, являющейся, в общем случае, анизотропной,
%эф — эффективное поле (локальное поле, действующее на молекулу), отличающееся, вообще говоря, от среднего макроскопического поля % в среде
(см. ниже).
Тензор 2 может быть комплексным. Это означает, что диэлектрик будет
поглощать электромагнитное поле (см. ниже). Величину 2 можно оценить,
воспользовавшись моделью молекулы в виде проводящего шара радиуса
10 10 м. Такая оценка была сделана в предыдущей лекции, поэтому 2
4 3 10 29 м3 .
Дипольный момент единицы объема (вектор поляризации) будет равен
+
1
& ,
(6.2)
где & — число молекул в единице объема, — среднее значение проекции
индуцированного дипольного момента молекулы (усреднение проводится по
всем ориентациям молекул в единице объема). Результат усреднения зависит
от агрегатного состояния вещества.
В газе все ориентации молекул равновероятны. Поэтому
0
3
1
2 %эф
0
%11 %22 %33
3
%эф
(6.3)
Для компоненты вектора поляризации получаем
%11 %22 %33
+
0 &2%эф ,
(6.4)
где 2
— средняя поляризуемость молекулы. Таким образом,
3
газ, состоящий из анизотропных молекул, является изотропным веществом.
В жидкостях существует ближний порядок, поэтому задача усреднения
сложнее, чем в газах. Однако жидкость также является изотропной средой,
90
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
и для нее справедливо выражение (6.4), в котором 2 — среднее значение
поляризуемости молекулы жидкости.
В кристаллах атомы ориентированы одинаково, поэтому
+
0 &
3
1
2 %эф
(6.5)
Определим теперь макроскопические характеристики изотропной среды:
поляризуемость 6 и диэлектрическую проницаемость . Для этого воспользуемся соотношениями (4.13) и (4.35):
7
+ 0 6% ,
0 % + 0 1 6%
0 %
В этих соотношениях % — величина напряженности среднего макроскопического поля в диэлектрике, которая, как отмечалось выше, может не
совпадать с величиной %эф .
% . Тогда из сравнения (6.4) и (4.13)
Для разреженных газов %эф
получаем
6 &2, 1 &2
(6.6)
1025 м 3 . Поскольку 2
10 29 м3 , то
При нормальных условиях &
4
6 1 10 . Диэлектрическая проницаемость разреженных газов отличается от единицы лишь в четвертом знаке после запятой.
Для плотных газов, жидкостей, некоторых кристаллов необходимо учитывать воздействие на молекулу ее окружения. Представим, что молекула
находится в центре физически малого сферического объема, отделенного от остальной части диэлектрика воображаемой сферической поверхностью. Иными словами, микроскопический диэлектрический шарик находится внутри сферической полости однородно поляризованного диэлектрика.
На поверхности полости находится
связанный заряд с поверхностной
+
+
"
плотностью !
(рис. 6.1). Этот заряд, согласно
(4.23), будет создавать индукционное
поле (поле Лоренца) %инд +3 0 ,
которое направлено в ту же сторону, что и макроскопическое поле
в диэлектрике. Поле, создаваемое
диполями микроскопического шарика
для газов, жидкостей и кристаллов
с кубической симметрией, будет
равно нулю. Поэтому
Рис. 6.1
"
%эф %
,
(6.7)
30
т.е. поле, действующее на молекулу, больше среднего макроскопического
поля % на величину +3 0 , определяющую вклад в напряженность поля
поляризованных молекул вне шарика. Подставляя (6.7) в (6.5) и опуская
91
Лекция 6
индекс ;, получаем для изотропной среды
Отсюда
+
0
"
30
0 &2 %
+
&%
1
%
(6.8)
0 1%
0 6%
(6.9)
3
Следовательно
1
&%
1
(6.10)
3
Эту формулу чаще используют в виде
1
2
&%
(6.11)
3
Последняя формула называется формулой Клаузиуса–Моссотти, названной в честь итальянского ученого О. Моссотти, который совместно с немецким физиком Р. Клаузиусом в 1864 г. разработал теорию поляризации диэлектриков.
Формула (6.11) находится в удовлетворительном согласии с опытом для
жидких и газообразных диэлектриков с неполярными молекулами. Так как
&
0 ( — плотность вещества, 0 — масса молекулы), то из нее,
в частности, следует, что величина
11
2
%
3 0
(6.12)
и не зависит от давления и температуры.
Полярные диэлектрики. При помещении полярного диэлектрика в электрическое поле на каждую молекулу, обладающую собственным дипольным
моментом 0 , согласно (5.12), будет действовать момент сил 0 .
Здесь предполагается, что эф , как это имеет место в разреженных газах.
Момент сил будет стремиться повернуть молекулу так, чтобы вектор 0 был
направлен вдоль вектора . Этому будет препятствовать тепловое движение
молекул, оказывающее дезориентирующее воздействие. В результате двух
разнонаправленных тенденций между векторами 0 и будет существовать
некоторый угол . Следовательно, согласно (5.16), молeкула будет обладать
потенциальной энергией 3 0 0 %
.
В состоянии термодинамического равновесия распределение молекул по
энергиям подчиняется распределению Больцмана. Если & — число молекул
в единице объема, то число молекул & , дипольные моменты которых составляют с вектором угол, лежащий в диапазоне (, , будет равно
&
.
'
B(
.
0 !
B(
2
(6.13)
92
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Здесь B — постоянная Больцмана,
2
— элемент
Ê телесного
угла, . — константа, определяемая из условия нормировки &
& :
.
Ê
0
&
0 !
(6.14)
B ( 2 ! !
Пользуясь последними двумя выражениями, можно вычислить среднее
значение проекции дипольного момента на направление поля:
Ê
!
B ( ! !
0 !
1
0
0
& 0
(6.15)
Ê
&
!
(
!
!
B
0
0
0
Из симметрии задачи ясно, что средние значения двух других проекций
равны нулю.
Для удобства введем параметр
0%B< и вычислим интеграл
в знаменателе (6.15):
=
где
0
1
#
2
,
#
0
(6.16)
2 — функция гиперболический синус.
Нетрудно видеть, что интеграл в числителе (6.15) равен производной
(6.16) по параметру :
=
где
2
#
2
#
2
#2
,
(6.17)
2 — функция гиперболический косинус.
Поэтому
0
) #
) #
0
Здесь
лический котангенс,
5
1
#
— функция
1
0 5
(6.18)
гипербо-
(6.19)
#
— функция Ланжевена, названная по имени
Рис. 6.2
французского физика П. Ланжевена, который
в 1903–1905 гг. развил статистическую теорию диа- и парамагнитных явлений, где эта функция была получена (см.
далее).
График функции (6.19) изображен на рис. 6.2. При увеличении напряженности электрического поля функция Ланжевена стремится к единице, а среднее значение 0 . Это означает, что в конечном итоге может произойти
насыщение поляризации: все дипольные моменты молекул будут выстроены
93
Лекция 6
вдоль поля. Оценку величины напряженности поля %нас , при которой происходит насыщение, можно сделать из условия нас 0 %нас B < 1. Полагая 0 10 29 Кл м, < 300 К, получаем %нас 4 108 В/м. Эта очень большая величина, которая близка к пределу электрической прочности диэлектрика (см. далее). При %%нас
1 функция Ланжевена 5 3 и
1
3 0
0 5
B(
3
где
2пол
2
0
30
%
0 2пол % ,
2
0
(6.20)
(6.21)
B(
— средняя поляризуемость полярной молекулы. Она уменьшается с ростом
10 27 Кл м, что приблитемпературы. При комнатной температуре 2пол
зительно на два порядка больше поляризуемости бездипольной молекулы
2 10 29 Кл м, обусловленной механизмом электронного смещения. У полярных молекул также имеет место поляризация электронного смещения,
поэтому суммарная поляризуемость дипольных
молекул равна
2
2 2пол
2
30
2
0
(6.22)
B(
Для разреженных газов аналогом (6.6) является формула
1
&2
& 2
30
2
0
B(
Na
(6.23)
Рис. 6.3
1025 м 3 ,
При нормальных условиях &
27
2
2 10
Кл м, поэтому 1 10 .
Поскольку для разреженных газов зависимость диэлектрической проницаемости от величины 1< является линейной (формула (6.23)), то, экспериментально получив такую зависимость, можно определить величины 2 и 0
(рис. 6.3). Экстраполяция прямой в область высоких температур позволяет
вычислить &2, а угловой коэффициент наклона прямой равен 20 3 0 B .
Такие измерения дают значения 0
0,36 10 30 Кл м (СО); 5,3
30
29
10
Кл м (SO2 ; 3,5 10
Кл м (KCl) и т. д.
Для плотных газообразных и жидких полярных диэлектриков формула
(6.7) для эффективного (локального) поля является несправедливой. Следовательно, и уравнение Клаузиуса–Моссотти также неприменимо. Поэтому
используются другие модели для нахождения поляризуемости таких диэлектриков.
В модели, предложенной норвежско-американским физхимиком Л. Онзагером (Нобелевская премия по химии 1968 г.), предполагается, что каждый
диполь 0 находится в центре реальной сферической полости, в которой отсутствуют другие диполи. Диаметр этой полости имеет порядок межатомного
расстояния. Окружающие диполи, согласно (2.6), создают в центре полости
дополнительное поле, которое вызывает как ориентацию рассматриваемого
диполя 0 , так и появление у этого атома индуцированного дипольного
94
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
момента. В результате учета такого сложного взаимодействия между диполями Онзагером была получена формула
инд 2 инд
инд 22
& 20
90 B (
(6.24)
Здесь инд — часть диэлектрической проницаемости, обусловленная индуцированными дипольными моментами.
Формула Онзагера неплохо согласуется с экспериментом. Например, для
воды инд 4,9, 0 2,16 10 29 Кл м, и при < 273К из (6.24) получается
105, в то время как в эксперименте 88.
Кристаллы. Механизмы поляризации кристаллов зависят от характера
химической связи, т. е. от распределения электронных плотностей. Например,
в ионных кристаллах (каменная соль NaCl и др.), где электроны локализованы в окрестности отдельных ионов, поляризация является результатом сдвига
ионов друг относительно друга (ионная поляризация), а также деформации
электронных оболочек отдельных ионов (электронная поляризация). Поэтому
поляризация есть сумма ионной и электронной поляризаций.
В кристаллах с ковалентной связью (например, в алмазе), где электроны
равномерно распределены между атомами, поляризация обусловлена главным
образом смещением электронов, осуществляющих химическую связь.
В полярных кристаллах (например, твердый сероводород), атомы которых
имеют собственный дипольный момент, происходит ориентационная (дипольная) поляризация, как для полярных жидкостей и газов. Сходный механизм
поляризации связан с перескоком под действием электрического поля отдельных ионов из одних возможных положений равновесия в решетке в другие.
Особенно часто такой механизм поляризации наблюдается в веществах с водородной связью (например, у льда), где ионы водорода имеют несколько
положений равновесия.
В общем случае направление вектора поляризации в кристалле не
совпадает с направлением поля , и вектор будет составлять различные
углы с вектором в зависимости от ориентации по отношению к осям
симметрии. Поэтому кристаллы в общем случае являются анизотропными
диэлектриками.
В кристалле атомы ориентированы определенным образом, поэтому компоненту дипольного момента единицы объема можно представить выражением (6.5)
3
+ 0 &
2 %эф ,
1
в правой части которого фигурируют две характеристики вещества: компонента тензора поляризуемости молекулы и число атомов в единице объема.
В отличие от (4.13) и (4.35), связь векторов поляризации и индукции
с порождающим их электрическим полем в кристалле приобретает вид:
+
0
3
1
6 % ,
(6.25)
95
Лекция 6
7
0 % +
0
3
1
%
(6.26)
Æ 6 — компоненты тензоров восприимчивости и диЗдесь 6 и
электрической проницаемости, Æ — символ Кронекера.
Если не учитывать поглощение электромагнитного поля в диэлектрике, то
можно считать, что компоненты действительны. Тогда , и тензор
содержит 6 независимых компонент. Соответствующим выбором координатных осей тензор можно привести к диагональному виду:
0
11
0
0
22
0
0
0
(6.27)
33
Характерное значение диэлектрической проницаемости существенно зависит от структуры вещества и от внешних условий (например, от температуры), обычно меняясь в пределах от 1 до 100—200 (у сегнетоэлектриков
до 104 –105 ). Например, 4,3 (кварц), 5,7 (алмаз), 6,3 (каменная и поваренная соли), 12 (кремний), 73 (лед при 5 ÆC), 170 (TiO2 , 4000 (BaTiO3 .
Такой разброс значений объясняется тем, что в разных веществах
основной вклад в дают различные механизмы поляризации. Как отмечалось,
в ионных кристаллах (каменная и поваренная соли) наиболее существенна
ионная поляризация, в ковалентных кристаллах (алмаз, углерод, кварц) —
перераспределение валентных электронов. Большой вклад в дает ориентационная поляризация. Поэтому диэлектрическая проницаемость льда сравнительно велика ( = 73).
Пироэлектрики. В ряде твердых диэлектриков поляризация существует и без электрического поля. Такие диэлектрики называются пироэлектриками. Каждая элементарная ячейка в таком кристалле обладает собственным дипольным моментом. Диполи ориентированы одинаково, поэтому
кристалл оказывается спонтанно (самопроизвольно) электрически поляризованным. На противоположных его поверхностях, перпендикулярных вектору
спонтанной поляризации, образуются связанные поверхностные заряды разного знака.
Если кристалл достаточно долго находится при постоянной температуре,
то избыточные заряды на его поверхности компенсируются из-за собственной
проводимости кристалла и из-за взаимодействия с заряженными ионами воздуха, и кристалл в целом не обнаруживает электрической поляризации.
При однородном нагревании кристалла изменяются расстояния и углы
между частицами, а следовательно, и спонтанная поляризация, В результате возникают нескомпенсированная поляризация, характеризуемая вектором , и электрическое поле . Такое явление называется пироэлектрическим эффектом.
Уравнение пироэлектрического эффекта имеет вид
γ
< ,
(6.28)
96
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
где вектор γ характеризует величину пироэлектрического эффекта, < —
приращение температуры. Электрическое поле существует до тех пор, пока
не будет скомпенсировано свободными зарядами.
Пироэлектрический эффект наблюдается у кристаллов с низкой симметрией (турмалин, титанаты бария и свинца, триглицинсульфат и др.). У таких
кристаллов есть полярное направление, не изменяющееся при всех преобразованиях симметрии (полярные диэлектрики): вдоль этого направления
ориентирован вектор γ .
Например, у турмалина при изменении температуры на один градус возникает поле % 400 В/см.
Пироэлектрики используют в качестве датчиков, регистрирующих изменение температуры с высокой точностью, а также для изготовления чувствительных приемников инфракрасного излучения, датчиков ударных волн, измерителей напряжения. На основе пироэлектриков созданы преобразователи
тепловой энергии в электрическую.
Существует эффект, обратный пироэлектрическому. Если пироэлектрик
поместить в электрическое поле , то его поляризация изменяется, что сопровождается нагреванием или охлаждением кристалла. Изменение температуры
< при этом прямо пропорционально напряженности электрического поля:
< % . Это явление называется линейным электрокалорическим эффектом. Существует и квадратичный электрокалорический эффект, когда
изменение температуры < % 2 .
Сегнетоэлектрики. Особой разновидностью пироэлектриков являются
сегнетоэлектрики. Они характеризуются очень большими значениями ,
сильной нелинейной зависимостью + от % , доменной структурой и наличием
спонтанной поляризации лишь в определенном интервале температур. В этом
смысле диэлектрические свойства сегнетоэлектриков аналогичны магнитным
свойствам ферромагнетиков (см. далее), поэтому явление сегнетоэлектричества носит также название ферроэлектричества.
Типичный представитель сегнетоэлектриков — сегнетова соль (двойная
соль винной кислоты KNaC4 H4 O6 4Н2 О), обусловившая появление термина
«сегнетоэлектрик». К сегнетоэлектрикам с более простой структурой относятся кристаллы титаната бария BaTiO3 , титаната свинца PbTiO3 , ниобата
лития LiNbO3 и др.
Если нагревать сегнетоэлектрик, то при определенной температуре спонтанная поляризация в нем исчезнет, и кристалл переходит в обычный диэлектрик (фазовый переход). В области температур, близких к температуре
фазового перехода, величина спонтанной поляризации резко меняется с изменением температуры, так что пироэлектрический эффект в этой области
особенно велик.
Кристаллическая модификация, в которой существует спонтанная поляризация, называется полярной фазой, а в которой отсутствует — неполярной
фазой.
Температура 4 0 9 106 км, что примерно в 1400 раз
и имеющий радиус
больше радиуса Земли (электроемкость Земли > 0,7 мФ). Следовательно, фарад — довольно большая величина, поэтому на практике применяются
дольные единицы — миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ),
пикофарад (пФ).
Из последней формулы следует также, что единица электрической постоянной 0 — фарад на метр (Ф/м).
Пример 4. Рассчитаем емкость двухпроводной линии длины , состоящей из двух параллельных круглых проводов радиуса , с межосевым
расстоянием между проводами, равным . В этом случае можно
приближенно считать, что свободный заряд на каждом проводе распределен равномерно и потенциал поля одного провода описывается форму 2
лой 0 00
(см. (3.17а)). Поэтому электрическое напряжение
20
111
Лекция 7
между проводами /
ку заряд линии
2
0
2
, то искомая емкость
0
>
.
2 00 0
2
0
. Посколь-
(7.5)
Электрическое поле в конденсаторе обладает энергией 3 , которая, согласно (5.25), равна
3
1
01 02
2
1
/
2
1
>/ 2
2
1 2
2 *
(7.6)
Обратимся к некоторым важным деталям, связанным с накоплением энергии в конденсаторе. Для этого рассмотрим сначала плоский конденсатор
с воздушным зазором ( 1), у которого одна подвижная пластина может
удаляться от неподвижной пластины. Вначале пластины находятся в контакте, и достаточно поднести заряженное тело, чтобы вследствие индукции
на них появились заряды противоположного знака. После этого контакт
разрывается, заряженное тело убирается, и, прикладывая внешнюю силу,
одну пластину медленно отодвигают на расстояние . На подвижную пла
1
%
стину с зарядом будет действовать сила притяжения
20
2
(поле неподвижной пластины вдвое меньше поля в конденсаторе), поэтому
необходимо совершить работу . 12 % 12 / 3 .
Погрузим теперь раздвижной конденсатор в жидкий диэлектрик (например, керосин) и проделаем ту же самую процедуру. Напряженность поля%
и сила притяжения со стороны неподвижной пластины уменьшатся в раз.
Поэтому работа внешней силы . 12 % 12 / 3
3 и энергия 3 уменьшатся в . Уменьшение силы обусловлено электрострикционным давлением керосина на обкладки.
Видоизменим опыт, для чего сохраним тонкий воздушный зазор между
керосином и подвижной пластиной. В этом случае сила, действующая на по
движную пластину, будет такая, как и в отсутствии керосина
20
(электрострикционное давление отсутствует), а напряженность поля
в конденсаторе (за исключением маленького воздушного зазора)% % .
1
1
Соответственно работа .
%
/ 3 3 .
20
2
2
Она такая же, как и в отсутствие керосина, а энергия конденсатора
3 меньше работы в раз. В рассматриваемой ситуации часть работы
. 13 затрачивается на «затягивание» диэлектрика в конденсатор.
Лейденская банка — первый электрический конденсатор, изобретенный
голландскими учеными П. Мушенбруком и его учеником Кюнеусом в 1745 г.
в г. Лейден. Параллельно и независимо от них сходный аппарат, под названием «медицинская банка», изобрел немецкий ученый Э. Клейст.
Этот конденсатор представлял собой стеклянную банку с широким горлом, обклеенную снаружи и внутри листовым оловом (наружная и внутренняя
112
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
обкладки) примерно до 23 высоты и закрытую деревянной пробкой, сквозь
которую проходит проволока с цепочкой, касающейся у дна внутренней
обкладки (рис. 7.3). Лейденская банка позволяла накапливать и хранить
сравнительно большие заряды, порядка микрокулона.
Рис. 7.3
Ее изобретение стимулировало изучение электричества, в частности, скорости его распространения и электропроводящих свойств некоторых материалов. Выяснилось, что металлы и вода лучшие проводники электричества.
Благодаря лейденской банке удалось впервые искусственным путем получить
электрическую искру.
Большая емкость лейденской банки эффектно демонстрируется в следующем эксперименте (рис. 7.4 а, б). Вблизи заряженной от электрофорной
машины лейденской банки на изолированной нити подвешивается легкий
проводящий шарик. Этот шарик может совершать колебания, касаясь попеременно стержня банки и заземленной пластины (а).
В первый момент времени в незаряженном шарике происходит разделение
зарядов в поле лейденской банки (электростатическая индукция). В результате шарик притягивается к стержню, на него переходит часть заряда банки,
после чего он уже будет отталкиваться от стержня. Достигнув заземленной
пластины, он передаст ей свой заряд и вновь начнет притягиваться к стержню.
Такие колебания будут продолжаться до тех пор, пока шарик не перенесет весь заряд банки на пластину. В описываемом опыте колебания
длятся несколько десятков секунд. Если вместо лейденской банки зарядить
проводящий шар радиусом 10 см, то колебания прекращаются за несколько
секунд (б).
С помощью разборной лейденской банки можно продемонстрировать уникальное физическое явление — сохранение поляризации и заряда диэлектрика
Лекция 7
113
Рис. 7.4
в отсутствие внешнего электрического поля. Конструкция такой банки показана на рис. 7.5. Она состоит из двух цилиндрических медных стаканов разных диаметров, между которыми
плотно помещается стеклянный стакан.
Вначале банка заряжается от
электрофорной машины до высокого
напряжения порядка двадцати киловольт. Затем с помощью специальных захватов из изоляционных материалов она разбирается, стеклянный
стакан удаляется и банка собирается.
При соединении ее обкладок проводящей перемычкой проскакивает искра
и банка разряжается.
Однако если теперь вновь собрать
банку, вставив в нее стеклянный
стакан, и коснуться перемычкой, то
опять проскочит искра, хотя и более
слабая по сравнению с предыдущей.
Это означает, что на стеклянном стакане сохранились заряды противоположного знака, которые после сборки
Рис. 7.5
перетекли на обкладки банки.
Классификация и параметры конденсаторов определяются диэлектриком, разделяющим его обкладки, поэтому основная классификация электрических конденсаторов проводится по типу диэлектрика. В зависимости
от типа используемого диэлектрика конденсаторы могут быть воздушные,
бумажные, слюдяные, керамические, электролитические, масляные и др.
114
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
На рис. 7.6 показано устройство бумажного (а), масляного (б) и электролитического (в) конденсаторов. В бумажном конденсаторе две длинные ленты
из проводящей фольги, между которыми находится тонкий слой бумаги, сворачиваются в катушку и помещаются в жесткий корпус. Этим обеспечивается
большая площадь обкладок и малое расстояние между ними. В масляном конденсаторе системы пластины погружаются в емкость, заполненную маслом.
Рис. 7.6
В электролитическом конденсаторе поверхность алюминиевой фольги,
являющейся одной обкладкой конденсатора, подвергается окислению для
образования изолирующей пленки, выполняющей роль диэлектрика. В качестве второй обкладки применяется пропитанная электролитом бумага, либо
проводящий гель, что обеспечивает прекрасный контакт с окисленной поверхностью первой обкладки. Для получения низкоомного контакта используется
вторая алюминиевая фольга, расположенная поверх бумаги или геля. Конструктивно фольга сворачивается в цилиндр.
Поскольку зазор между обкладками конденсатора сведен к минимуму,
поверхность пластин велика, а значение относительной диэлектрической проницаемости оксида алюминия
8,5, то электролитический конденсатор
характеризуется очень большой емкостью единицы объема.
Такие конденсаторы, как правило, требуют соблюдения полярности прикладываемого напряжения: при обратной полярности они обычно выходят из
строя из-за химического разрушения диэлектрика с последующим увеличением тока, вскипанием электролита внутри и, как следствие, с вероятностью
взрыва корпуса.
Различают конденсаторы постоянной и переменной емкости. Конденсаторы
переменной емкости изменяют свои параметры в результате как механического, так и электрического управления. Изменение емкости конденсатора
с механическим управлением достигается чаще всего изменением площади
его обкладок или изменением зазора между обкладками.
Простейший воздушный конденсатор переменной емкости показан на
рис. 7.7. Он состоит из двух изолированных систем металлических пластин
полукруглой формы, которые входят друг в друга при вращении рукоятки:
одна группа (ротор) может перемещаться так, что ее пластины заходят в зазоры между пластинами другой группы (статора). Вдвигая и выдвигая одну
систему пластин в другую, можно изменить угол $ и емкость конденсатора.
115
Лекция 7
Рис. 7.7
Рис. 7.8
Электрические конденсаторы переменной емкости с твердым диэлектриком (керамические, слюдяные, стеклянные, пленочные) в основном используются как подстроечные с относительно небольшим изменением емкости.
На рис. 7.8 показана клавиша компьютера, при нажатии на которую изменяется расстояние между обкладками микроконденсатора, совмещенного
с клавишей.
Широко используются электрически управляемые конденсаторы переменной емкости — вариконды и варикапы.
Вариконд (от англ. «vari(able)» — переменный и «cond(enser)» — конденсатор) — это сегнетокерамический конденсатор с резко выраженной нелинейной зависимостью емкости от приложенного к его обкладкам управляющего
электрического напряжения. С увеличением напряжения диэлектрическая
проницаемость сегнетоэлектрика, а следовательно, и электрическая емкость
возрастают, достигают максимума (при напряженности электрического поля
внутри вариконда 500—2500 В/см) и затем снижаются.
Степень нелинейности и емкость вариконда сильно зависят от температуры. С повышением температуры до точки Кюри (для применяемых сегнетоэлектриков и сопротивления (см. далее).
Ток, продолжающий течь через конденсатор
(через сопротивление ) после его зарядки,
называется током утечки.
Конденсаторы характеризуются номинальным и пробивным напряжением. НомиРис. 7.9
нальное напряжение — это напряжение, обозначенное на конденсаторе, при котором он может работать в заданных
условиях в течение срока службы с сохранением параметров в допустимых пределах. При достижении пробивного напряжения происходит пробой
диэлектрика между обкладками. Пробивное напряжение зависит от формы
обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.
Конденсаторы также характеризуются удельной емкостью — отношением
емкости к объему (или массе) диэлектрика. Максимальное значение удельной
емкости достигается при минимальной толщине диэлектрика, однако при этом
уменьшается его напряжение пробоя.
Во многих технических приложениях конденсаторы используются как
накопители энергии, как, например, в пушке Гаусса (см. далее). Поэтому
важное значение имеет величина плотности запасенной энергии (энергии,
приходящейся на единицу массы). Максимальная плотность у больших электролитических конденсаторов может превышать 1 кДж/кг.
Соединение конденсаторов в батареи. Для получения нужной емкости
конденсаторы соединяют в батареи. Для этого используются последовательное, параллельное и смешанное (состоящее из комбинации последовательного
и параллельного) соединения.
При приложении напряжения / к параллельно соединенным конденса>1 /
торам с емкостями >1 и >2 конденсаторы приобретут заряды 1
и 2 >2 / (рис. 7.10 а). Заряд батареи, который она способна при разрядке
отдать во внешнюю цепь, равен
1 2
>1 /
>2/ >1 >2/
Поэтому емкость батареи из двух параллельных конденсаторов
>пар
>1 >2
.
(7.7)
117
Лекция 7
Увеличение емкости происходит из-за того, что площадь обкладок батареи
больше площади обкладок каждого конденсатора.
Рис. 7.10
Для батареи & параллельных конденсаторов емкость
>пар
1
>
(7.8)
Если у всех параллельно соединенных конденсаторов расстояние между
обкладками и свойства диэлектрика одинаковы, то эти конденсаторы можно
представить как один большой конденсатор, разделенный на фрагменты меньшей площади.
При приложении напряжения / к последовательно соединенным конденсаторам с емкостями >1 и >2 конденсаторы приобретут одинаковый заряд
>1 /1 >2 /2 (рис. 7.10 б), поскольку процесс зарядки сводится к переносу электронов с внешней обкладки одного конденсатора на внешнюю
обкладку другого конденсатора. На внутренних обкладках, соединенных
проводником, вследствие электростатической индукции появятся одинаковые
заряды противоположного знака. Поэтому во внешнюю цепь батарея может
отдать заряд . В силу того, что напряжение /
/1 /2 , выражение для
емкости батареи двух последовательно соединенных конденсаторов удобно
представить в виде
1
.
.1 .2
1
1
(7.9)
*посл
*1 *2
118
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Поскольку складываются величины, обратные емкостям, то емкость >посл
меньше емкости любого из конденсаторов. Уменьшение емкости происходит
из-за того, что суммарная толщина диэлектрика батареи больше толщины
диэлектрика в каждом конденсаторе.
Для батареи & последовательных конденсаторов
1
*посл
1
(7.10)
*
1
Если у всех последовательно соединенных конденсаторов площади обкладок одинаковы, то эти конденсаторы можно представить как один большой
конденсатор, заполненный чередующимися диэлектрическими слоями отдельных конденсаторов.
Уместно отметить, что при последовательном соединении снижается возможность пробоя конденсатора, поскольку на каждый конденсатор приходится лишь часть приложенной разности потенциалов.
Потенциальные и емкостные коэффициенты. Если имеется система & проводников произвольной формы, то потенциал 0 (; 1, 2, . . . , & ),
приобретаемый каким-либо проводником при сообщении ему заряда , существенно зависит от формы и расположения других проводников. Поле этого
заряженного проводника вызывает перераспределение зарядов на всех незаряженных проводниках (электрическая индукция). Таким образом, потенциал
заряженного проводника складывается из потенциала поля, создаваемого собственным перераспределившимся зарядом, и потенциалов полей, создаваемых
индуцированными им зарядами.
Применяя подобные рассуждения к каждому заряженному проводнику
с зарядом , можем записать линейные соотношения, которые называются
формулами Максвелла:
0
1
,
(7.11)
в которых — потенциальные коэффициенты. Если известны заряды проводников, то их потенциалы могут быть найдены путем решения задачи
Неймана. Если же известны их потенциалы, то, решив задачу Дирихле, можно найти заряды проводников, записав формулы Максвелла с емкостными
коэффициентами :
1
0
(7.12)
Вместо линейных соотношений (7.12) более удобно применять формулы
с частичными емкостями > , которые связывают заряды проводников и разность потенциалов между ними:
Здесь 00 — потенциал либо бесконечно удаленной точки (если линейные
размеры проводников ограничены), либо какой-либо другой удобной точки
(например, точки, находящейся на оси симметрии бесконечной проводящей
пластины), > — собственная частичная емкость, > — взаимная частичная
емкость.
В качестве простейшего примера можно рассмотреть две концентрические
сферы с радиусами 1 и 2 ( 1 , на которых находятся заряды 1 и 2
соответственно. Если положить на бесконечности 00 0, то 02 2 2
1 2, 01 1 1 2 2. Отсюда, 1 01 02 1 2 2 1 ,
2
02 2 02 01 1 2 2 1 . Следовательно, >11
0,
>12
>21
1 2 2
1 — емкость сферического конденсатора,
>22
2 — емкость внешней сферы.
Ионистор. Как отмечалось выше, большой емкостью обладает ионистор.
Его еще называют конденсатором двойного слоя DLC (от англ. «double layer
capacitor»). Первый конденсатор с двойным слоем на пористых угольных
электродах был запатентован в 1957 г. фирмой General Electric.
Принцип работы ионистора основан на накоплении заряда двойным электрическим слоем, состоящим из электронов и ионов, разделенных очень
тонким промежутком. Для достижения больших емкостей используются пористые материалы, имеющие большую поверхность пор при малых внешних
размерах. Оказалось, что для этой цели лучше всего подходит обычный
активированный уголь (древесный уголь, который после специальной обработки становится пористым). Площадь поверхности пор 1 см3 такого угля
достигает тысячи квадратных метров, а емкость двойного электрического
слоя — десятка фарад!
Конструкция ионистора показана на
рис. 7.11. Он состоит из двух пластин,
плотно прижатых к пропитанной электролитом «начинке» из активированного
пористого угля. Уголь уложен двумя слоями, между которыми проложен тонкий
разделительный слой вещества, не проводящего электроны.
При зарядке ионистора в правой его
половине образуется двойной электрический слой с электронами на поверхности
пор и положительными ионами на приРис. 7.11
мыкающем электролите, в левой — с положительными ионами на поверхности пор и электронами на примыкающем электролите. Разделительный слой препятствует соединению электронов
с ионами в начинке после отключения от источника питания.
По существу, ионистор — это комбинация конденсатора с электрохимической батареей (см. далее). В таком электрохимическом конденсаторе применяются специальные материалы для обкладок и электролит.
Для обкладок используются активированный уголь, оксиды металлов
и проводящие полимеры. Применение высокопористых угольных материалов позволяет достичь плотности емкости порядка 10 Ф/см3 и более.
120
Раздел 2. Металлы и диэлектрики в электростатическом поле
Энергетическая плотность ионистора достигает величины 10 Вт чкг. Она
больше, чем у типичных конденсаторов, но меньше, чем у лучших аккумуляторов (см. ниже). Поэтому ионисторы называют также суперконденсаторами.
Электролит ионисторов может быть водным, либо органическим. Ионисторы на основе водного электролита обладают небольшим внутренним сопротивлением, напряжение зарядки для них ограничено величиной порядка 1 В.
А ионисторы на основе органических электролитов обладают более высоким
внутренним сопротивлением, но обеспечивают напряжение зарядки несколько
вольт. Для получения более высоких напряжений их включают последовательно.
Хотя ионисторы появились сравнительно недавно, однако они нашли
разнообразные применения: для питания микросхем памяти (в качестве резервного источника тока, рис. 7.12), в цепях фильтрации и сглаживающих
фильтрах, для временного питания оборудования при замене батарей. Ионисторы могут работать в паре с батареями в целях защиты последних от резких
скачков тока нагрузки: при низком токе нагрузки батарея подзаряжает суперконденсатор, и если ток резко возрастет, суперконденсатор отдаст запасенную
энергию, чем уменьшит нагрузку на батарею.
Рис. 7.12
Ионисторы могут заряжаться и разряжаться бо́льшими токами, чем батареи, что делает их ценными для гибридных автомобилей. В сочетании
с бензиновым генератором ионистор позволяет создавать автомобили с электроприводом колес и расходом топлива 1–2 л на 100 км. Однако полностью
они не способны заменить аккумуляторы: ионистор массой в 1 кг способен
накопить около 30000 Дж энергии, а самый плохой свинцовый аккумулятор —
около 105 Дж. Тем не менее, при отдаче большой мощности за короткое время
аккумулятор быстро портится, да и разряжается только наполовину. Ионистор
же многократно и без всякого вреда для себя отдает любые мощности. Кроме
того, ионистор можно зарядить за считанные секунды, а аккумулятору на это
обычно нужны часы.
Поэтому он хорош в качестве источника питания устройств, многократно
кратковременно потребляющих большую мощность: электронной аппаратуры,
Лекция 7
121
автономных фонарей, автомобильных стартеров (с помощью устройств,
называемых бустерами), электрических отбойных молотков. электромагнитных орудий и др.
Литий-ионные конденсаторы (LIC — lithium-ion capacitor) нового поколения, сочетающие в себе свойства литий-ионных аккумуляторов (см. далее)
и обычных ионисторов. По плотности энергии такие конденсаторы превосходят ионисторы до 10 раз, а емкость достигает 200 Ф. По сравнению с ионисторами они имеют большее рабочее напряжение. Хотя удельная мощность
у них сравнимa, но плотность энергии у литий-ионных конденсаторов гораздо
выше.
Такой результат достигается предварительным легированием (насыщением) обкладки-анода ионами лития, благодаря чему энергия используется
более эффективно, а ресурс конденсатора увеличивается. Кроме того, по сравнению с ионисторами повышается максимальное напряжение в 1,5–2,0 раза.
Эти конденсаторы обладают большей энергоемкостью, сравнимой с батареями, безопаснее в сравнении с литий-ионными батареями, в которых
начинается бурная химическая реакция при высокой температуре.
РАЗДЕЛ
3
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
ЛЕКЦИЯ 8
Предыдущие лекции были посвящены рассмотрению взаимодействия покоящихся электрических зарядов. Однако если в проводниках создается
и постоянно поддерживается электрическое поле, то под его воздействием
начинается упорядоченное перемещение заряженных частиц, или дрейф,
называемый электрическим током. Проводники электрического тока делятся
на электронные (проводники первого рода) и ионные (проводники второго
рода).
Проводники первого рода — металлы в твердом и расплавленном состоянии. В них электрический ток осуществляется движением свободных электронов (см. далее).
Проводники второго рода — некоторые растворы солей, кислот, оснований, а также некоторые вещества, главным образом соли, в расплавленном
состоянии. Электрический ток в них осуществляется движением ионов.
Плотность и сила тока — важнейшие характеристики электрического
тока. Вектор плотности тока определяется соотношением
ср ,
(8.1)
в котором — заряд частицы, ср — вектор средней скорости дрейфа, —
концентрация частиц. Таким образом, вектор плотности тока численно
равен величине заряда, протекающего за единицу времени через единичное
сечение проводника, ориентированное перпендикулярно скорости частицы. Он сонаправлен с вектором скорости положительного заряда (например,
положительного иона). В металлах, где
0, вектор противоположен
вектору ср . Поток вектора через произвольно ориентированное сечение
равен силе электрического тока, определяемой как
@ #
,
(8.2)
где — угол между вектором плотности тока и нормалью к площадке # .
Следовательно, сила электрического тока в проводнике равна количеству заряда, протекающего в единицу времени через сечение проводника.
Единицей силы тока в системе СИ является ампер (1 А). Он — одна из
основных физических величин этой системы единиц и вводится при рассмотрении магнитного взаимодействия проводников с токами (см. далее). Единица
заряда 1 Кл является производной единицей: 1 Кл 1 А 1 с.
Если сила тока не зависит от времени, то электрический ток называется постоянным. В технике широкое применение получили токи, сила которых изменяется во времени по гармоническому закону с частотой
50 Гц (герц). Такие токи исторически получили название переменных токов.
Лекция 8
123
Хотя, конечно, переменным током можно считать любой изменяющийся
во времени электрический ток.
Источники тока. Для создания и поддержания электрического тока
необходимы источники тока — устройства, преобразующие различные виды
энергии в электрическую энергию. По виду преобразуемой энергии их условно можно разделить на химические и физические источники тока. Первые
химические источники (гальванические элементы и аккумуляторы) были созданы в XIX в. (столбик Вольта, элемент Лекланше и др.).
Физические источники получили свое развитие после открытия в 1831 г.
английским физиком М. Фарадеем явления электромагнитной индукции.
Принято относить к физическим источникам устройства, преобразующие тепловую, механическую, электромагнитную энергию, а также энергию радиационного излучения и ядерного распада, в электрическую. Это, прежде всего,
электромашинные и термоэлектрические генераторы, термоэмиссионные преобразователи, МГД-генераторы, а также генераторы, преобразующие энергию
солнечного излучения и атомного распада.
В настоящей лекции ограничимся рассмотрением принципа действия химических источников постоянного тока. Это рассмотрение потребует привлечения незначительного материала предшествующих лекций и простейших
знаний об окислительно-восстановительных химических реакциях.
Введение таких понятий, как электродвижущая сила источника и его
внутреннее сопротивление позволит в полном объеме изложить феноменологически основные законы постоянного тока и рассмотреть многочисленные
практические приложения.
Химическими источниками тока принято называть устройства, вырабатывающие электрический ток за счет энергии окислительно-восстановительных реакций химических реагентов. Они подразделяются на первичные,
вторичные и резервные, а также электрохимические генераторы.
Первичные источники (гальванические элементы и батареи) допускают,
как правило, однократное использование энергии химических реагентов.
Некоторые гальванические элементы и батареидопускают кратковременное
повторное использование после электрической подзарядки. Положительный
(катод) и отрицательный (анод) электроды, разделенные электролитом в жидком или пастообразном состоянии или же пористой мембраной-сепаратором
с поглощенным в ней электролитом, гальванически связаны в течение всего
срока службы. В быту первичные химические источники тока часто называют
«батарейками». Среди батареек наиболее распространены солевые, щелочные
(они же алкалиновые) и литиевые.
Вторичные источники (аккумуляторы и аккумуляторные батареи) допускают многократное (сотни и тысячи заряд-разрядных циклов) использование энергии составляющих химических реагентов. Электроды и электролит весь срок службы аккумуляторов находятся в электрическом контакте
друг с другом. Для увеличения ресурса используют сухозаряженное хранение аккумуляторов. Такие аккумуляторы перед включением предварительно
заливают электролитом. Наиболее распространены литий-ионные (Li-ion),
литий-полимерные (Li-pol), литиевые, никель-металлгидридные (Ni-MH),
никель-кадмиевые (Ni-Cd) и свинцово-кислотные аккумуляторы.
124
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Резервные источники допускают только однократное использование энергии химических реагентов. В отличие от гальванических элементов и аккумуляторов, электролит хранится отдельно в жидком состоянии (в отдельных емкостях) либо в твердом (но неэлектропроводящем) состоянии в межэлектродных
зазорах. Срок хранения таких резервных источников превышает 10–15 лет.
Электрохимические генераторы способны длительное время непрерывно
генерировать электрический ток в результате преобразования энергии химических реагентов (газообразных или жидких), поступающих в генератор
извне. К 1970 г. в СССР и США были созданы промышленные образцы
электрохимических генераторов. В настоящее время ведутся интенсивные
работы по созданию электрохимических генераторов для космических аппаратов, электромобилей, стационарных установок и т. д. Наиболее перспективны
генераторы, непосредственно преобразующие энергию природного топлива
в электрическую.
Первый химический источник тока был изобретен итальянским ученым
А. Вольта в 1800 г. Это был элемент Вольта — сосуд с соленой водой и опущенными в него цинковой и медной пластинками, соединенными проволокой.
Затем ученый собрал батарею из этих элементов, укладывая друг на друга
поочередно вертикально медный и цинковый диски, разделенные картонными
или суконными кружками, смоченными водой или раствором едкого кали.
Эта батарея впоследствии была названа «вольтовым столбом».
В 1802 г. русский ученый В. Петров сконструировал вольтов столб из
2100 элементов для получения электрической дуги. В 1836 г. английский
химик Д. Даниэль усовершенствовал элемент Вольта, поместив цинковый
и медный электроды в раствор серной кислоты. Эта конструкция стала называться «элементом Даниэля» и стала прообразом современного химического
источника.
Первый свинцово-кислотный аккумулятор, который применяется широко
в настоящее время, изобрел в 1859 г. французский физик Г. Плантэ. А уже
в 1865 г. французский химик Ж. Лекланше предложил свой гальванический
элемент (элемент Лекланше), состоявший из цинкового стаканчика, заполненного водным раствором хлористого аммония или другой хлористой соли,
в который был помещен агломерат из оксида марганца с угольным токоотводом (см. далее).
Гальванический элемент Даниэля. В гальваническом элементе (названном в честь итальянского физиолога и физика, одного из основателей
электрофизиологии и учения об электричестве Л. Гальвани) химическая энергия преобразуется в электрическую. Простейший гальванический элемент
(элемент Даниэля) представляет собой два объема с растворами CuSO4
и ZnSO4 , в которые погружены, соответственно, медная и цинковая пластинки (рис. 8.1). Чтобы предохранить растворы от быстрого смешивания, они
разделены пористой перегородкой из необожженной глины. Такая система
называется медно-цинковым гальваническим элементом.
На аноде протекает процесс окисления цинка: Zn – 2е– = Zn2 . В результате этого атомы цинка превращаются в ионы, которые переходят в раствор.
Цинковый анод растворяется, и его масса уменьшается. Анод в гальваническом элементе, как отмечалось ранее, является отрицательным электродом
Лекция 8
125
Рис. 8.1
(за счет электронов, полученных от атомов цинка). Электроны от атомов
цинка по внешней электрической цепи (например, металлическому проводнику) движутся к катоду, где протекает процесс восстановления ионов меди из
раствора ее соли: Cu2 + 2е– = Cu. В результате этого образуются атомы
меди, которые осаждаются на поверхности катода, и его масса увеличивается. Катодом в гальваническом элементе является положительно заряженный
электрод.
Фактически протекает реакция замещения меди цинком в ее соли. Важно
подчеркнуть, что процессы отдачи (окисление) и присоединения (восстановление) электронов происходят не при непосредственном контакте атома Zn
с ионом Сu2 , а в разных местах системы: на аноде и на катоде, которые
соединены металлическим проводником. Цинк (отдает электроны) является
восстановителем, а медь (присоединяет электроны) окислителем. Если
исходить из определения: окислитель — это вещество, которое в ходе реакции принимает электроны, т. е. восстанавливается; восстановитель —
отдает электроны, т. е. окисляется, то в рассмотренной реакции цинк
является восстановителем, а медь — окислителем.
При таком способе проведения этой реакции электроны перемещаются от
анода к катоду по внешней цепи, в которой и выделяется бо́льшая часть
химической энергии, которая превращается в электрическую энергию (энергию движущихся зарядов). Ионы Zn2 и SO24 движутся через пористую
перегородку в разных направлениях по электролиту.
Эту же реакцию можно осуществить и иным способом — просто погрузить
цинковую пластинку в раствор CuSO4 . При этом образуются те же самые продукты — медь и ионы цинка. Процессы отдачи (окисление) и присоединения
(восстановление) электронов происходят в одном месте при непосредственном
контакте атома Zn с ионом Сu2 . Выделяемая в этом простом процессе
энергия будет расходоваться на нагревание электролита.
126
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Замечание. В химических источниках тока анод является отрицательным
электродом, на нем происходят процессы окисления. Катод в них положителен — на нем протекают процессы восстановления. В электролитических ваннах (электролизерах, см. далее) процесс окисления происходит по-прежнему
на аноде, однако он имеет положительный потенциал, а катод, на котором
протекают процессы восстановления, — отрицательный потенциал.
В элементе Вольта медная и цинковая пластины погружены в водный
раствор серной кислоты H2 SO4 , в котором молекула кислоты распадается на
отрицательный ион кислотного остатка SO24 и положительный ион водорода H22 . В результате химической реакции между цинком и серной кислотой
положительные ионы цинка притягиваются к отрицательным ионам кислотного остатка. Поэтому между отрицательно заряженной цинковой пластиной
и электролитом возникает разность потенциалов, или электрохимический
потенциал 0окисл 0,5 В, которая будет препятствовать дальнейшему переходу ионов цинка в электролит. Если бы второй электрод был бы также
цинковым, то между электродами разность потенциалов была бы равна нулю.
В случае же медного электрода на нем будут осаждаться положительные ионы H22 , в результате чего между ним и электролитом образуется положительная разность потенциалов (электрохимический потенциал) 0восст 0,6 В.
Если теперь соединить электроды элемента Вольта проводником, то по
нему начнут двигаться электроны в направлении от цинковой к медной
пластине. Так как они уходят с цинкового электрода, то его отрицательный
потенциал начнет уменьшаться по абсолютной величине, и электрическое
поле между ним и раствором ослабевает. Это вызовет переход ионов цинка
в раствор, поэтому электрохимический потенциал цинковой пластины останется неизменным.
Положительные ионы цинка, переходящие все время в электролит, притягивают к себе отрицательные ионы кислотного остатка, которые движутся
в электролите в направлении от медной пластины к цинковой. Положительные ионы водорода движутся в противоположном направлении. Достигая
медной пластины, они отнимают у нее электроны, превращаясь в нейтральные
атомы.
Негативным эффектом является то, что медная пластина постепенно покрывается слоем водорода. Между этим слоем и электролитом возникает
разность потенциалов, действующая навстречу основной разности потенциалов, имеющейся между электродами. Это явление называется поляризацией
элемента. Для устранения поляризации в элемент вводят вещества, способные поглощать водород и называемые деполяризаторами. Поглощая водород,
деполяризатор постепенно приходит в негодность. Но обычно раньше этого
портится электролит, и под действием электролита разъедается цинк. Электрическая энергия получается в элементе за счет расхода цинка, электролита
и деполяризатора. Поэтому каждый элемент обладает определенным запасом
энергии и может работать лишь ограниченное время.
Электродвижущая сила (ЭДС). При соприкосновении металла и раствора соли этого металла возникает двойной электрический слой (ДЭС). Этот
слой является результатом упорядоченного распределения противоположно
Лекция 8
127
заряженных частиц на границе раздела фаз: на поверхности металла появляются заряды одного знака, а на примыкающей к нему поверхности электролита — противоположного.
Образование ДЭС приводит к скачку потенциала, равного 0, который
в условиях равновесия называется гальвани-потенциалом. Система «металл–
водный раствор соли металла» называется электродом, а для 0 вводится
термин «электродный потенциал».
Таким образом, гальвани-потенциал 0 — это равновесная разность потенциалов между металлом и раствором соли, содержащим ионы этого металла. Величина 0 численно равна работе, которая совершается в результате химической реакции по переносу иона единичного заряда из одной
фазы в другую, т. е. из металла в электролит.
Принято считать, что электродный потенциал 0восст ( 0, если на электроде (катоде) протекает реакция восстановления, и 0окисл 0, если на
электроде (аноде) протекает реакция окисления. Тогда ЭДС гальванического
элемента определяется как
0восст 0окисл
(8.3)
Исходя из определения потенциала, можно сказать, что ЭДС численно
равна работе, которую совершают электрохимические силы по переносу
единичного положительно заряда (положительного иона) по электролиту
от отрицательного анода к положительному катоду.
На рис. 8.2 изображен гальванический элемент (а), показано распределение потенциала в нем при разомкнутых электродах (б) и дано схематическое
изображение источника (в). Величина равна разности потенциалов между
положительным и отрицательным
электродами элемента.
Она зависит от свойств материалов, концентрации электролита, температуры электродов и электролита
и не зависит от размеров и формы
электродов и количества электролита.
В наиболее распространенных марганцево-цинковых элементах (элементах Лекланше) окислителем является двуокись марганца МnО2, представляющая собой пасту, смешанную
с графитом, а восстановителем —
цинк Zn.
Первые элементы заполнялись
жидким
электролитом
(солевым
Рис. 8.2
(NH4 Cl и др.) или щелочным (КОН
и др.). В дальнейшем электролит стали загущать с помощью крахмалистых
веществ. В этих элементах, называемых сухими, предотвращено вытекание
электролита. На рис. 8.3 показано устройство такого элемента. Окислитель,
находящийся в контакте с угольным стержнем, и сухой электролит,
обволакивающий окислитель, находятся в цинковом стакане, который
128
Раздел 3. Постоянный электрический ток
помещается в металлический корпус. Выходными электродами являются
центральный стержень и дно цинкового стакана. Для марганцево-цинковых
элементов
1,5–1,8 В, удельная энергия 10–100 Вт чкг.
Ртутно-цинковые элементы (окислитель — HgO) со щелочным электролитом
имеют
1,35 В, удельную энергию до
400 Вт чл. Их изготавливают в виде малогабаритных («пуговичных») герметичных устройств и применяют для питания
радиоприемников, портативных электронных устройств, кино- и фотоаппаратуры
и т. п.
В литиевых элементах восстановителем служит тонкий лист Li, напрессованРис. 8.3
ный на пластину или сетку из Ni или
Сu. Окислители — главным образом твердые МnО2 или фторированный графит. Благодаря высокому отрицательному
потенциалу Li и его малому расходу литиевые элементы имеют высокие
ЭДС (2,5–3,5 В) и удельную энергию (250–600 Вт чкг). Литиевые элементы
применяют преимущественно для питания кардиостимуляторов, микрокалькуляторов и других миниустройств.
Побочные химические или электрохимические реакции приводят к саморазряду гальванических элементов, ограничивающему длительность их
хранения, которая для лучших образцов может достигать 10 лет. Поэтому
в резервных гальванических элементах электролит разобщен с электродами
или находится в твердом непроводящем состоянии. Непосредственно перед
их использованием электроды приводят в контакт с электролитом или расплавляют электролит.
Например, в водоактивируемых элементах, используемых широко в спасательных плавсредствах, безводная щелочь или соль находится в мешочках
в межэлектродном пространстве. Перед эксплуатацией в элемент заливают
воду, образуется электролит требуемой концентрации, и гальванический элемент готов к работе.
Электрический ток в металлических проводниках. Как отмечалось
ранее, если электроды гальванического элемента соединить металлическим
проводом, то по нему потечет постоянный электрический ток. Он подчиняется двум важнейшим законам постоянного тока: закону Ома и закону
Джоуля–Ленца.
Закон Ома. В 1826 г. немецкий физик Г. Ом, изучая процесс протекания
тока в электрической цепи, соединенной с источником, установил, что показания A гальванометра в цепи подчиняются соотношению
%
A
,
(8.4)
в котором 2 — постоянная величина, характеризующая свойства источника
тока, не зависящая от величины тока A , — величина, пропорциональная
Лекция 8
129
длине проводов цепи, — некоторая величина, характеризующая всю электрическую схему.
— электродвижущая сила,
—
В современной интерпретации 2
сопротивление проводов (внешнее сопротивление), — внутреннее сопротивление источника (электролита и электродов), A — сила тока в проводе, поэтому закон Ома для замкнутой цепи записывается в виде
(8.5)
Для понимания причины возникновения тока в проводнике на рис. 8.4
изображен проводник перед его подключением к источнику (а) и затем после
подключения (б).
Рис. 8.4
Заряженные разноименно электроды источника в окружающем пространстве создают электростатическое поле. При приближении проводника к источнику в проводнике вследствие индукции происходит разделение зарядов так,
чтобы скомпенсировать поле источника. Поле внутри проводника отсутствует,
электрического тока нет, а поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии поля поверхностных зарядов и зарядов на
электродах источника перпендикулярны поверхности проводника. Они, как
обычно, начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных
зарядах.
При контакте проводника с электродами ситуация кардинально изменится:
заряды по-прежнему останутся на поверхности проводника, однако перераспределятся таким образом, чтобы внутри проводника появилось электрическое поле. Силовые линии наклонятся по отношению к поверхности. Это
свидетельствует о том, что поверхность проводника не является эквипотенциальной: каждому сечению проводника будет соответствовать свое значение
потенциала.
Между двумя произвольными сечениями (1) и (2) проводника будет
существовать разность потенциалов 01 02 , или электрическое напряжение /12 . Опыт показывает, что ток в проводнике может быть выражен через
5 В. А. Алешкевич
130
Раздел 3. Постоянный электрический ток
эту разность потенциалов (электрическое напряжение) и сопротивление 12
части провода, заключенного между этими сечениями:
1 2
.12
(8.6)
12
12
Таким образом, сила тока, протекающего по участку цепи, прямо
пропорциональна приложенной разности потенциалов (электрическому
напряжению) и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка.
Это утверждение называется законом Ома для участка цепи.
Соотношение (8.6), записанное в виде
/12
12 ,
(8.7)
удобно использовать для вычисления напряжения (падения напряжения) на
участке цепи.
Если сечения выбрать на концах проводника, подключенного к источнику,
и сравнить (8.6) с (8.5), то разность потенциалов между электродами нагруженного элемента (напряжение на элементе)
01 02
,
(8.8)
и оно меньше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Величина ЭДС равна сумме падений напряжения во внешней
и внутренней цепях.
Последний вывод удобно проиллюстрировать с помощью схематичного
распределения потенциала по всей замкнутой цепи, состоящей из источника
с электродвижущей силой
и внутренним сопротивлением и внешнего
сопротивления
(сопротивление проводов мало.) (рис. 8.5). Значению потенциала соответствует высота ломаной штриховой линии над плоскостью,
в которой лежит электрический контур.
Потенциал 02 отрицательного электрода источника принят равным нулю.
Если сопротивление нагрузки становится равным нулю, то возникает
ток короткого замыкания к
,
при котором напряжение на электродах становится равным нулю. Поскольку внутреннее сопротивление мало, то
большой ток короткого замыкания приРис. 8.5
водит к разрушению элемента.
Замечание. При введении понятия потенциала предполагалось, что заряды неподвижны. Возникает вопрос о справедливости применения этого
термина в случае постоянного электрического тока. Утвердительный ответ
на этот вопрос основан на том, что конфигурация зарядов в неподвижном
проводнике не изменяется, хотя, конечно, поверхностные заряды будут постоянно обновляться через малые промежутки времени. Если «рассматривать»
усредненное по времени распределение зарядов, то заряды будут казаться
неподвижными, поэтому создаваемое ими усредненное электрическое поле
ничем не будет отличаться от потенциального поля неподвижных зарядов.
131
Лекция 8
Закон Ома в дифференциальной форме. В тонком (линейном) проводнике электрическое поле направлено вдоль оси провода, поэтому разность
потенциалов, или напряжение между двумя сечениями провода, можно записать в виде
2
01 02
/12
2
1
% ,
(8.9)
1
где криволинейная координата отсчитывается вдоль оси провода. Для
фрагмента провода длиной и сечением # можно (8.9) записать в виде
01 02 /12 % , а сила тока
@ # . Тогда (8.6) может быть
переписано в виде
1
% !% ,
@
(8.10)
12
где
12 # — удельное сопротивление (сопротивление единицы
объема) проводника, ! 1 — удельная проводимость. Соотношение (8.10),
записанное в векторной форме,
1
! ,
(8.11)
является математическим выражением закона Ома в дифференциальной
форме.
Плотность тока не является постоянной величиной в сечении проводника и изменяется
при изгибе провода. На рис. 8.6 показан фрагмент изогнутого провода и отмечены два непаРис. 8.6
раллельных сечения, имеющие потенциалы 01
и 02 . Поскольку расстояние между сечениями
на внутреннем изгибе меньше, чем на наружном, то напряженность поля
и плотность тока увеличиваются при перемещении по сечению к внутренней изогнутой части провода. Соответственно на изгибах преимущественно
накапливаются и поверхностные заряды. Когда ток течет по проводу, то
изгиб провода не меняет силы тока, что обеспечивается соответствующим
перераспределением поверхностных зарядов.
В последних лекциях курса излагаются основы классической и квантовой теорий электропроводности твердых тел, устанавливается связь величины удельной электропроводности со строением вещества. Здесь же мы
ограничимся констатацией того факта, что удельная проводимость металлов
! 106 –108 Oм 1 м 1 . Причина такой высокой проводимости кроется в наличии большого числа валентных электронов, потерявших связь со своими
атомами и совершающих хаотическое движение внутри проводника. Эти
электроны называются электронами проводимости.
Под действием приложенного поля они начинают двигаться с переменной
скоростью (дрейфовать) в направлении, противоположном полю, продолжая
при этом совершать хаотические движения. Скорость дрейфа электронов на
много порядков меньше скорости их хаотического движения, сохраняющегося
даже при абсолютном нуле температуры!
5*
132
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Сторонние силы. К сторонним силам относят силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока
и вызывающие перемещение электрических зарядов внутри источника постоянного тока против сил электростатического поля.
В рассмотренном элементе Даниэля сторонние силы действуют в двойном
электрическом слое каждого электрода. Под действием этих сил заряженные
ионы движутся внутри источника тока против сил электростатического поля,
создаваемого положительно заряженным медным и отрицательно заряженным цинковым электродами, благодаря чему на концах цепи поддерживается
разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток. Если
бы сторонние силы отсутствовали, то силы электростатического поля, как известно, не смогли бы совершать работу по перемещению заряда по замкнутой
цепи.
На рис. 8.7 показана аналогия между протеканием тока по замкнутой
цепи и течением воды в гравитационном (потенциальном) поле Земли по
замкнутому контуру. Падение воды с одной высоты на другую происходит
в поле силы тяжести (аналог падения напряжения на внешнем сопротивлении). Сторонние силы обеспечиваются человеком, который поднимает ведро
против силы тяжести.
Рис. 8.7
Сторонняя сила , действующая на частицу, может быть вовсе не электрического происхождения и никак не связана с зарядом частицы (например, сила инерции в НИСО, пропорциональная массе частицы). Эта сила, отнесенная
к величине заряда этой частицы, формально называется «напряженностью
поля сторонних сил»
ст
(8.12)
Еще раз подчеркнем условность этого названия, помещенного в кавычки.
Тогда ЭДС сторонних сил запишется как
2
2
ст
12
1
%ст
1
(8.13)
133
Лекция 8
Если на участке цепи действует сторонняя сила, то падение напряжения
на нем отличается от разности потенциалов, что отмечалось в лекции 3
(формулы (3.2) и (3.3)), поэтому:
2
/12
12
1
2
ст
01 02
(8.14)
12
1
Последняя формула выражает закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Она аналогична формуле (8.8), записанной для падения напряжения
на участке внутренней цепи в виде
02 01.
В дифференциальной форме закон Ома при наличии сторонних сил
примет вид
1
ст ! ст
(8.15)
В заключение рассмотрим пример, являющийся хорошей иллюстрацией к сказанному выше. В электрической цепи, состоящей из двух параллельных проводов (шин), разнесенных на расстояние B , и подключенного к ним сопротивления
(сопротивление шин учитывать не будем), может с постоянным ускорением скользить проводящая перемычка, находящаяся с шинами в гальваническом контакте (рис. 8.8). Если перемычка
составляет с шинами угол , то в связанной с ней неинерциальной системе отсчета проекция силы инерции, действующей на свободный электрон массы , на ось перемычки
и будет сторонней силой
2
. Тогда
%ст
2
. Поскольку сторонняя
сила действует на длине
B
, то электродвижущая сила
%ст 2 B ,
Рис. 8.8
а ток в цепи
.
Закон Джоуля–Ленца. При протекании тока в неподвижном проводнике в отсутствие химических реакции (см. далее электролиз) энергия
движущихся зарядов (электрическая энергия) может превращаться только в теплоту. Количество выделившейся теплоты ? определяется законом
Джоуля–Ленца, который независимо был установлен в 1841 г. английским
физиком Дж. Джоулем и годом спустя российским физиком Э. Ленцем.
Количество теплоты ?, выделяющееся на участке цепи с сопротивлением 12 за время , если по нему протекает электрический ток силой , равно
работе .12 , совершаемой электростатическим полем:
?
.12
01
02
/12
2
12
2
.12
12
(8.16)
Работа, совершаемая током в единицу времени, называется электрической
мощностью:
+12
12
/
01
02
/12
2
12
2
.12
12
(8.17)
134
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Для практического использования формулы (8.16) и (8.17) используются
при трех различных парных комбинациях тока , напряжения /12 и сопротивления 12 .
В дифференциальной форме этот закон получается из (8.17), если рассмотреть фрагмент провода длиной и сечением # и записать, как
и раньше, 01 02 /12 % , @ # . Тогда + @ % # . Количество теплоты C, выделяющейся в единицу времени в единичном объеме
проводника (удельная мощность), с учетом закона Ома в дифференциальной
форме будет равно
"
1 2
C
@2
(8.18)
@%
%
Эта формула является математическим выражением закона Джоуля–
Ленца в дифференциальной форме.
Если будут присутствовать сторонние силы, то
@ % %ст
1
2
@2
% %ст
Сравнивая последние три записи (8.19), видим, что формула
C
C
@2
(8.19)
(8.20)
является наиболее общей записью рассматриваемого закона.
Резисторы. Резистор (от лат. «resisto» — сопротивляюсь) — пассивный
элемент электрической цепи, обладающий омическим сопротивлением .
Эквивалентным для резистора является старый термин «сопротивление ».
Реальные резисторы (сопротивления) в той или иной степени обладают
также паразитными емкостью и индуктивностью, а также нелинейной зависимостью падения напряжения на них от величины протекающего тока
(нелинейной вольт-амперной характеристикой). Это прежде всего варисторы,
сопротивление которых зависит от приложенного напряжения.
Сопротивление может также зависеть от температуры (терморезисторы),
от освещенности (фоторезисторы), от механических напряжений (тензорезисторы) и от величины внешнего магнитного поля (магниторезисторы).
Резисторы либо изготавливаются как дискретные элементы, либо могут
являться частями микросхем. Для достижения нужного омического сопротивления учитывается, что сопротивление 12 (далее индексы у сопротивления
писать не будем) фрагмента проводника, согласно (8.10), равно
,
(8.21)
поэтому для увеличения сопротивления используются материалы с высоким
удельным сопротивлением. Существует множество разнообразных технологий
изготовления резисторов.
В проволочных резисторах кусок проволоки с высоким удельным сопротивлением наматывается на каркас. Это позволяет использовать проволоки
с большой длиной и малым поперечным сечением # . Сопротивление такой
проволоки будет равно
(8.22)
135
Лекция 8
Поскольку при этом образуется катушка, то такой резистор может иметь
заметную паразитную индуктивность. На рис. 8.9 показан потенциометр,
представляющий собой проволочный резистор со скользящим контактом.
При перемещении контакта вдоль резистора изменяется рабочая длина проволоки и, тем самым, сопротивление.
Рис. 8.9
Рис. 8.10
Наиболее
распространены
пленочные
металлические
резисторы
(рис. 8.10), в которых на керамический сердечник напыляют тонкую пленку
металла с большим удельным сопротивлением. На концы сердечника
надеваются металлические колпачки с проволочными выводами.
Применяются также угольные резисторы (объемные и пленочные),
поскольку уголь, хотя и проводит ток, но обладает высоким удельным
сопротивлением.
В интегральных схемах для создания резисторов путем напыления используются слаболегированные полупроводники (см. далее).
Выпускаемые промышленностью резисторы характеризуются номинальным значением сопротивления, разброс которого у лучших стабильных образцов не превышает 0,01 %. Второй характеристикой является максимальная
рассеиваемая мощность, при которой резистор не повреждается. Например,
в СССР, согласно ГОСТ, выпускались резисторы следующих номиналов мощностей (в ваттах): 0,01, 0,025, 0,05, 0,062, 0,125, 0,5, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 16,
25, 40, 63, 100, 160, 250, 500.
Резисторы, в особенности малой мощности, весьма миниатюрны: их длина
составляет всего несколько миллиметров, а диаметр в несколько раз меньше.
Поскольку прочитать на такой детали значение номинала невозможно, то
применяют маркировку в виде цветных полос.
Производство стабильных резисторов дорого, и поэтому они используются
в высокоточной аппаратуре. В резисторах общего назначения сопротивление
может изменяться в пределах 10 % вследствие зависимости удельного сопротивления от температуры .
136
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Феноменологически установлено, что эта зависимость (в ограниченном
интервале температур) является линейной:
0 1 0 ,
(8.23)
где — температурный коэффициент сопротивления, 0 — удельное сопротивление при температуре 0 (например, комнатной температуре).
Для большинства металлов температурный коэффициент сопротивления
положителен: их сопротивление растет с ростом температуры вследствие
рассеяния электронов на фононах (тепловых колебаниях кристаллической
решетки). Об этом речь пойдет в последних лекциях.
Для них характерное значение 10 3 К 1
0,05 (константан,
Ni-Cu+Mn); 0,1(Ni); 0,25 (никелин,Cu+Ni); 1,0 (Hg); 3,7 (Pb); 4,0 (Sn);
4,1(Ag); 4,2 (Al); 4,3 (Cu); 5,0 (W); 6,0 (Fe).
Поскольку при протекании тока резистор нагревается, то его сопротивление будет увеличиваться. У углерода, наоборот, коэффициент отрицателен,
и сопротивление угольного резистора по мере его нагревания будет уменьшаться.
На практике для достижения нужного сопротивления участка цепи используют сразу два или более резисторов, подключая их последовательно или
параллельно. Возможна также смешанная схем подключения.
Напряжение / , приложенное к участку цепи из & последовательных
резисторов , будет равно сумме паданий напряжения на всех резисторах,
через которые течет одинаковый ток силой :
/
1
1
посл
(8.24)
Следовательно, при последовательном соединении сопротивление участка
цепи равно сумме сопротивлений последовательно соединенных резисторов:
посл
(8.25)
1
При параллельном соединении суммируются токи , протекающие через
резисторы, Поскольку напряжение на них одинаково и равно приложенному
напряжению / , то
1
1
.
/
1
1
.
пар
(8.26)
Поэтому при параллельном соединении величина, обратная сопротивлению участка цепи, равна сумме обратных величины сопротивлений параллельно соединенных резисторов:
1
пар
1
1
(8.27)
Полезно запомнить, что ситуация с резисторами отличается от ситуации
с емкостями (совпадает с точностью «до наоборот»).
Лекция 8
137
Картинки, изображенные на рис. 8.11, являются забавной иллюстрацией
протекания тока при последовательном (а) и параллельном (б) подключении
двух резисторов. Здесь изображено течение воды в поле силы тяжести при
последовательном и параллельном расположении маленьких водосбросов. Высота падения воды эквивалентна падению напряжения на резисторе, а поток
воды — электрическому току.
Рис. 8.11
Все нагревательные и осветительные приборы имеют омическое сопротивление . Они характеризуются значениями номинального напряжения /ном
2 .
и номинальной мощности, которая, согласно (8.17), равна +ном
/ном
100 Вт и /ном
220 В имеет
Например, лампочка с мощностью +1ном
сопротивление 1
484 Ом, а лампочка с +2ном
25 Вт и тем же самым
номинальным напряжением имеет сопротивление 2 4 484 Ом.
При их параллельном включении в сеть с напряжением /
/ном на
каждой из них будет выделяться номинальная мощность, поэтому общая
мощность +ном +1ном +2ном 125 Вт.
Если же их включить последовательно в ту же сеть, то напряжения на
лампочках будут отличаться от номинального. Напряжение на маломощной
лампе будет в 4 раза выше напряжения на более мощной: /2 4/1 . Поскольку /2 /1 220 В, то /1 44 В, а /2 4 44 В.
Из-за пятикратно уменьшения напряжения (по отношению к номинальному) мощность 100-ваттной лампы уменьшится в 25 раз (+1 /12 1 4 Вт),
и она будет едва светиться. Напряжение же на 25-ваттной лампе уменьшится
только на 1/5 часть от номинального, поэтому ее мощность +1 /22 2
16 Вт, и она будет светиться намного ярче 100-ваттной. Уменьшится и полная мощность, потребляемая лампами: + +1 +2 20 Вт.
138
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Термоэлектронагреватель (ТЭН), применяемый в электроплитах, водонагревательных приборах и т. д. содержит несколько проволочных резисторов,
которые могут комбинированно включаться различным образом в цепь с помощью переключателя. Это позволяет изменять мощность ТЭНа в широких
пределах.
RC-цепи. Рассмотрим электрическую цепь, содержащую последовательно
включенные емкость > и резистор
(рис. 8.12). Такая цепь называется
RC-цепью. Она обладает дифференцирующим и интегрирующим свойством.
Если в момент времени 0 с помощью ключа К ее подключить к источнику постоянного
напряжения /0 , то по цепи пойдет электрический
ток , и конденсатор начнет заряжаться (увеличиваться его заряд ). Рост напряжения /
>
на конденсаторе компенсируется уменьшением
падения напряжения /
на резисторе, поскольку сумма напряжений на обоих элементах
Рис. 8.12
в любой момент должна быть равна напряжению
источника. Это означает, что в процессе зарядки ток будет ослабевать, и когда
напряжение на емкости достигнет величины приложенного напряжения, ток
прекратится, и зарядка окончится.
Рассчитаем этот процесс, для чего запишем вытекающее из только что
проведенных рассуждений уравнение
/
*
Поскольку величина заряда и сила тока связаны соотношением
/0
/
/
(8.28)
,
(8.29)
/
то, подставляя его в (8.28), получим дифференциальное уравнению для заряда
.0
,
(8.30)
/
> — постоянная времени цепи, характеризующая время зав котором
рядки конденсатора.
.0
Для решения уравнения (8.30) введем новую переменную D
.
0
, получаем уравнение
В силу того, что
/
/
0
(8.31)
D
/
Разделим в нем переменные и проинтегрируем:
!
!0
0
0
"
0
/
,
(8.32)
139
Лекция 8
где D0
чаем
D 0
/0 , так как 0
или
0
00
Ток в цепи
1
0. В результате интегрирования полу-
/
.0
>/0 1
/
,
/
(8.33)
.0
/
(8.34)
/
Зависимости заряда и тока от времени показаны на рис. 8.13. Заряд
увеличивается и асимптотически приближается к максимальной величине
0 >/0 , когда напряжение на конденсаторе будет равно напряжению источника. На практике время зарядки конденсатора оценивается величиной
3–5 . Через это время ток в цепи прекращается, поэтому постоянный ток
в цепи с конденсатором течь не может!
За такое же время конденсатор разрядится, если отсоединить источник и перемкнуть
свободные концы цепи. Заряд (и напряжение), как нетрудно убедиться, будет убывать
по закону
/
0
(8.35)
С помощью такой цепочки можно проинтегрировать в течение времени
зависящее от времени входное напряжение /0 .
За это время напряжение на емкости много меньше напряжения на резисторе. Тогда
уравнение (8.30) может быть записано в приближенном виде, /0 и напряжение (хоть и малое) на емкости
/
/
*
1
"
/0
(8.36)
Рис. 8.13
0
В радиоэлектронике применяются интегрирующие RC-цепочки с большой
постоянной времени, на вход которой подается переменное напряжения, а выходное напряжение снимается с емкости. Качество интегрирования будет тем
выше, чем больше постоянная времени по сравнению с характерным временем
изменения входного напряжения.
Если постоянная времени цепочки мала, то напряжение на резисторе будет
много меньше напряжения на почти зарядившемся конденсаторе. Тогда уравнение (8.30) записывается в другом приближенном виде:
/0 .
Ток в цепи /0 , а напряжение (хоть и малое) на
резисторе
.0 /
/
(8.37)
/
140
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Поэтому цепочка с малой постоянной времени по сравнению с характерным временем изменения входного напряжения будет дифференцирующей,
если выходное напряжение снимать с резистора. Такие цепочки также имеют
широкое применение.
На рис. 8.14. изображены временны́е зависимости напряжения на емкости
/ и резисторе / , если на вход цепи подано напряжение /0 прямоугольной формы переменной полярности с периодом < , называемое меандр
(от греч. «EÆ » — известный еще со времен неолита и распространеннапряжение на
ный тип прямоугольного орнамента). Видно, что при <
емкости повторяет первообразную функции /0 , а при < напряжение
на резисторе повторяет производную этой функции.
T
T
C
T
T
Рис. 8.14
Замечание. Рассмотренный пример показывает, что при знакопеременном приложенном напряжении через емкость будет протекать знакопеременный ток. Известно, что меандр с периодом < может быть представлен
2&< , & 1, 2, 3, . . .). Каждое
в виде суммы гармоник с частотами
переменное гармоническое напряжение с частотой будет вызывать в цепи
гармонический (переменный) ток той же частоты.
Как показывает верхний рисунок, при изменении периода < (а значит,
.
и набора частот ) существенно изменяется зависимость /
Это означает, в свою очередь, что амплитуды и фазы гармонических колебаний отдельных токов зависят от частоты. Если бы такой зависимости
не было, то /
было бы также меандром.
В полном объеме это будет изложено в разделе, посвященном переменному току.
ЛЕКЦИЯ 9
Баланс энергии в электрической цепи. В замкнутой электрической
цепи, изображенной на рис. 9.1, при протекании тока за время протекает
совершает работу
заряд . Источник с электродвижущей силой
2 , выделяемую на нагрузке
, которая превращается в теплоту
,
и теплоту 2 , выделяемую на внутреннем сопротивлении источника.
Уравнение баланса энергии может быть записано в виде:
2
2
(9.1)
После сокращения на величину уравнение (9.1), применительно
к единице заряда, превращается в закон Ома для замкнутой цепи (см. (8.5)).
Рис. 9.1
Рис. 9.2
Поскольку энергия, выделяемая на нагрузке, является полезной, то коэффициент полезного действия электрической цепи
12 /
1 2 / 1 2 /
Мощность, выделяемая на нагрузке, равна
+
(9.2)
2
2
2
и при
становится максимальной: +м
4 .
Добавим в цепь конденсатор емкостью > , в который может втягиваться
в диэлектрик с проницаемостью (рис. 9.2). Если диэлектрик неподвижен,
ток в цепи отсутствует. Как отмечалось ранее, на диэлектрик со стороны
поля будет действовать втягивающая сила . Величину этой силы можно
рассчитать с помощью уравнения для баланса энергии.
Для этого виртуально (мысленно) сдвинем диэлектрик на расстояние Æ*
(* — координата границы диэлектрика). Это приведет к изменению емкости
на величину Æ> и появлению на конденсаторе дополнительного заряда Æ
Æ за счет протекшего за время виртуального тока Æ .
Тогда уравнение для баланса энергии можно записать в виде:
Æ
Æ 2
Æ 2 Æ3
Æ.,
(9.3)
142
Раздел 3. Постоянный электрический ток
где 3
12 >/ 2 12 2> — энергия поля в конденсаторе (см. формулу (7.6)), которая виртуально изменяется на величину Æ3, виртуальная
Æ*. Для нахождения силы необхоработа сил поля равна Æ.
димо знать зависимость емкости от положения диэлектрика — > *. Тогда
Æ> >* Æ*.
Наиболее просто сила вычисляется, если цепь отключена от внешнего источника. Заряд конденсатора не изменяется, поэтому удобно для его энергии
использовать запись 3 12 2 > . Тогда уравнение баланса (9.3) примет
вид
*
1 2
1 2
Æ*
Æ*,
(9.4)
0 Æ. Æ3 Æ* Æ
2 *
2 *2
а сила получается равной
1 2
*
(9.5)
2 *2
Если цепь подключена к источнику, то (9.3) запишем в виде
Æ
Æ Æ
Æ3
Напряжение на конденсаторе равно /
выбрав формулу 3 12 >/ 2 , получаем
/ Æ
Æ3
Æ.
Æ
1
>/ 2
2
Æ.
Æ
(9.6)
Æ , поэтому,
Æ*
(9.7)
Выполним преобразование:
Æ
Тогда
1
>/ 2
2
1 2
/ Æ>
2
/ Æ
>/Æ/
/Æ >/
/Æ >/
1 2
/ Æ>
2
1 2
/ Æ>
2
Æ*
(9.8)
Æ >/ , из (9.8) находим
1 2
*
/
(9.9)
2
Ввиду того, что 2 > 2 / 2 , на первый взгляд может показаться, что формулы (9.5) и (9.9) полностью совпадают. Однако это неверно, поскольку зависимость силы от координаты в первой формуле определяется зависимостями
от координаты величины емкости и ее производной, а во второй формуле —
только производной. Величина напряжения на конденсаторе при реальном
движении диэлектрика зависит от скорости его движения: чем выше эта
скорость, тем больше сила тока и тем меньше напряжение. При бесконечно
медленном (квазистатическом) движении величину / можно принять равной
величине ЭДС.
Разветвленные цепи. Зачастую реальные электрические цепи представляют собой несколько связанных электрических контуров. Такие цепи
называются разветвленными. На рис. 9.3 в качестве примера изображены
три связанных контура. Цифрами отмеченыконцы участков контуров. Эти
участки обладают сопротивлениями (;, @ 1, 2, 3, 4, 5, 6). Из-за наличия
С учетом того, что Æ
Æ
143
Лекция 9
узлов (точек разветвления, в рассматриваемом случае это точки 3, 4, 5) токи
в участках цепи, примыкающих к узлам, будут разными. Поэтому в общем
случае (во всех участках) токи удобно обозначить символом . Направление
каждого тока неизвестно, поэтому его можно задать произвольно, нарисовав
на схеме соответствующую стрелку. Наконец, в каждом участке может действовать электродвижущая
сила .
Чтобы рассчитать величину и направление тока
в каждом участке разветвленных цепей, используют
два закона Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа утверждает, что
алгебраическая сумма токов в участках цепи, примыкающих к узлу, равна нулю:
0
(9.10)
Рис. 9.3
Здесь важно, чтобы токам, притекающим и вытекающим из узла, были
приписаны разные знаки.
Этот закон является следствием закона сохранения заряда и того факта,
что для постоянных токов заряд в точке разветвления накапливаться не
может. В противном случае потенциал узла изменялся бы во времени, и ток
перестал бы быть постоянным (см. далее).
Второй закон Кирхгофа. Для участка разветвленной цепи уравнение
(8.14) запишется в виде
0 0
(9.11)
При его записи существенное значение приобретает правило знаков. Для
каждого контура вводят положительное направление его обхода (аналог системы координат в механике). ЭДС пишется со знаком (), если она
создает ток в положительном направлении обхода, и знаком () в противоположном случае (аналог силы в механике). Падение напряжения
выбирается со знаком (), если ток (при сделанном ранее выборе направления тока) течет в положительном направлении обхода, и со знаком ()
в противном случае.
После этого просуммируем равенства (9.11) в пределах одного замкнутого
контура. Поскольку сумма разностей потенциалов будет рана нулю, то
0
0
(9.12)
Таким образом, в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма
падений напряжения на его участках равна алгебраической сумме ЭДС,
действующих в этом контуре. Это утверждение и определяет содержание
второго закона Кирхгофа.
Решая совместно систему уравнений (9.12) и (9.10), можно определить все
токи. Если в результате решения значение какого-либо тока получится положительным, то это означает, что выбранное направление тока соответствует
144
Раздел 3. Постоянный электрический ток
действительности. Отрицательный знак указывает, что ток течет в другом
направлении.
Пример 1. Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную
на рис. 9.4, и вычислим токи в участках цепи. Внутреннее сопротивление
источника считаем пренебрежимо малым. В рассматриваемой разветвленной
цепи независимы два контура. Выберем самый большой и самый маленький
контуры. Примем за положительное направление
обход по часовой стрелке, произвольно «нарисуем» токи и запишем
1 2
2 2
1
1 2 2
(9.13)
В результате получим
Рис. 9.4
0;
;
0
пар
,
2
пар
пар
,
1
пар
1
2
пар
,
пар
1 2 1 2 .
Поскольку 2 0, то направление тока было выбрано неверно, что было
понятно до решения задачи. Нетрудно видеть, что если во втором уравнении
перейти от 2 к 1 с помощью третьего уравнения, то получится уравнение
для среднего (по величине) контура.
Метод контурных токов. Можно уменьшить число уравнений для токов,
если оперировать контурными токами, суперпозиция которых будет равна
реальным токам. Другими словами, для каждого замкнутого контура вводится одинаковый по всей его длине контурный ток,
который будет совпадать с реальным током за исключением участков, принадлежащих сразу двум контурам.
На рис. 9.5 показаны 4 контура (помеченные римскими цифрами), примыкающие к точке разветвления 0, и нарисованы произвольно контурные токи
;1 , . . . , ;4 . Тогда реальные токи в пограничных участках равны
где
01
03
;1 ;4 ,
;3 ;2 ,
02
04
;2 ;1 ,
;4 ;3
(9.14)
Рис. 9.5
Поскольку 01 02 03 04 0, то первый закон Кирхгофа выполняется
автоматически. Это и позволяет решать меньшее число уравнений, не используя первый закон Кирхгофа.
Пример 2. Рассмотрим схему, в которой в качестве нагрузки используется
измерительный мост, названный по имени своего изобретателя Ч. Уитстона
(рис. 9.6). Он состоит из четырех резисторов 1 , . . . , 4 , или плеч моста.
К одной паре выводов (полюсов) моста подключается источник питания,
а к другой — гальванометр F (нуль-детектор), имеющий сопротивление 5 .
145
Лекция 9
Рассчитаем ток # , текущий через гальванометр, используя метод контурных токов. Выбрав произвольно их направления в трех независимых
контурах, как показано на рисунке, можем записать систему уравнений
1 ;1
5;1
4 ;2
3 ;3
2 ;2
;3
;2
;3
;1
;1
5 ;2
4 ;3
3
;3
;1
;2
0,
0,
(9.15)
Решая систему линейных уравнений (9.15), находим
#
2
;1 ;2
3
1
4
,
(9.16)
где — определитель системы. Если подобрать сопротивления плеч моста так, чтобы 2 3
1 4,
то ток через гальванометр течь не будет. В этом
случае говорят, что мост уравновешен.
Рис. 9.6
Мост Уитстона применяется для измерения неизвестного сопротивления $ резистора, который является одним из плеч моста. Изменяя сопротивление других плеч, уравновешивают мост и из условия
равновесия 2 3
$ 4 определяют величину неизвестного сопротивления.
Измерительные мосты применяются только в тех случаях, когда требуется
наивысшая точность измерения.
Электрический ток в сплошной среде. Уравнение непрерывности.
В отличие от линейного проводника, в сплошной проводящей среде вектор
плотности тока может изменяться от точки к точке как по величине, так
и по направлению. На границе раздела двух сред с различной электропроводностью могут иметь место разрывы (скачки компонент этого вектора),
накапливаться свободные заряды и т. д.
Чтобы описать закономерности протекания электрического тока в сплошной среде, получим уравнение непрерывности. Выделим мысленно произвольный объем ' в проводящей среде с объемной плотностью заряда , окруженный поверхностью с площадью # , и запишем закон сохранения заряда в виде:
+
(9.17)
'
'
/
/
/
Здесь учтено, что изменение в единицу времени заряда ?
ÊÊÊ
'
в выделенном объеме равно с противоположным знаком полному току, вытекающему через поверхность. Подобным образом записывалось в курсе «Механика» уравнение баланса массы.
Устремляя затем ' 0, получаем уравнение непрерывности
(9.18)
/
Плотность тока можно выразить через объемную плотность свободного
. Тогда уравнение непрерывности
заряда и скорость заряда :
примет вид
0,
(9.19)
/
146
Раздел 3. Постоянный электрический ток
в котором оно неотличимо от уравнения неразрывности для плотности массы,
являющегося одним из фундаментальных уравнений гидродинамики.
В данном разделе курса мы рассматриваем только стационарные токи,
когда плотность тока может зависеть от координат и не зависит от времени.
Из закона Ома
! следует, что и напряженность поля также не
зависит от времени. Из уравнения 0 следует независимость от
времени и объемной плотности заряда, т.е. GG 0.
Следовательно (9.18) превратится в уравнение
0,
(9.20)
которое называется условием стационарности электрического тока.
В однородном проводнике (!
,
условие стационарности
можно привести к виду
! ! ! 0 0
(9.21)
0. В однородном проводнике, по которому
Отсюда следует, что
текут стационарные токи, объемные заряды отсутствуют, а имеются
лишь поверхностные заряды. На это указывалось и ранее при обсуждении
протекания тока в линейном проводнике.
Для удобства рассмотрения удобно ввести линии и трубки тока. Под
линией тока понимается воображаемая линия, касательная к которой
совпадает с направлением вектора плотности тока. По смыслу она определяется так же, как и силовая линия электрического поля или линия тока
в гидродинамике.
Линии тока образуют трубку тока. Удобство
ее использования состоит в том, что во всех сечениях трубки сила тока одна и та же.
Преломление линий тока. На границе раздела
двух проводящих сред вектор может претерпевать
разрыв, в результате чего возникает преломление
линий тока, как это изображено на рис. 9.7. Установим закон преломления этих линий, если известны
Рис. 9.7
проводимости !1 и !2 обеих сред.
Из условия стационарности (9.20) следует, что нормальная компонента
вектора непрерывна:
@1 @2
(9.22)
Тангенциальные компоненты связаны равенством тангенциальных компонент потенциального электрического поля в проводнике:
-1
-2
(9.23)
1
2
Найдем соотношение между углом «падения» 1 и углом «преломления» 2 линий. Граничное условие (9.22) примет вид @1
1 @2
2 ,
а граничное условие (9.23) запишем как @1
1 !1
@2
2 !2 . Деля
второе равенство на первое, получаем закон преломления линий тока:
!2 1
!1 2
(9.24)
147
Лекция 9
Замечание. Силовые линии поля вблизи поверхности провода с током
всегда будут наклонены в сторону протекающего тока, Это следует из того,
что поле в проводе
! направлено вдоль поверхности, а поле снаружи
должно иметь точно такую же тангенциальную компоненту. Поэтому чем
больше ток в проводе, тем сильнее наклон линий поля вблизи его поверхности.
Пример 3. Пусть пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено двумя проводящими средами толщиной 1 и 2 , между которыми
имеется плоская граница раздела, параллельная пластинам конденсатора.
Если среды имеют различные значения проводимости !1 и !2 , то в первый
момент после приложения к конденсатору внешнего напряжения / напряженность поля в проводниках будет одинаковой, а плотности токов разные:
@1 !1 % , @2 !2 % ( 0. Это будут нестационарные токи. В результате
в тонком пограничном слое начнет накапливаться заряд (GG 0, который
будет создавать свое собственное поле, накладывающееся на первоначальное
однородное поле. Если, например, ток течет из первой среды во вторую
и @1 ( @2 (!1 ( !2 , то на границе раздела будет накапливаться положительный заряд. В результате поле в первом проводнике будет уменьшаться, а во втором — увеличиваться и стационарное течение наступит, когда
@ !1 %1 !2 %2 (
0.
Проведем вычисление величины объемной плотности 0 свободного накопленного заряда с учетом различной диэлектрической проницаемости сред.
Для этого запишем три уравнения:
!1 %1
!2 %2 ,
%1 1 %2 2
/,
0 2 %2 1 %1
0
Последнее уравнение является граничным условием для вектора индукции
при наличии свободных зарядов на границе раздела. Из этих уравнений
получаем
1 2
0 0 2 1
/
1 2 2 1
Отсюда видно, что 0 0 при 2 !1 1 !2 .
Замечание. Проведенные вычисления с помощью формул электростатики
предполагают, что пластины являются эквипотенциальными поверхностями.
Однако по пластине от точки ее контакта с внешним проводом будет растекаться в разных направлениях электрический ток. Растекающийся ток
приведет к появлению падению напряжения на пластине (разности потенциалов между двумя точками пластины), и поверхность пластины не будет
эквипотенциальной. Разность потенциалов будет небольшой при малом токе
(низкой проводимости сред) и большой проводимости материала пластины !пласт (малого удельного сопротивления). Поэтому проведенные вычисления будут тем точнее, чем сильнее выполняется неравенство !пласт ( !1 , !2 .
Сделанное замечание позволяет использовать электростатический подход
к вычислению сопротивления заземления. В качестве примера рассмотрим
ситуацию, когда два одинаковых проводника (заземлителя) произвольной
формы погружены в землю, обладающую низкой проводимостью ! . Если между заземлителями поддерживать разность потенциалов 01 02 , то по земле
потечет электрический ток. Поскольку проводимость заземлителей намного
148
Раздел 3. Постоянный электрический ток
выше, чем проводимость земли, то линии тока будут мало отличаться от
силовых линии электростатического поля, создаваемого разноименно заряженными проводниками с потенциалами 01 и 02 .
Таким образом, ток от первого заземлителя растекается на большие
пространства, а затем стекается ко второму заземлителю. Силу тока можно
определить, интегрируя плотность тока по поверхности, например, первого
проводника. Тогда, используя закон Ома и теорему Гаусса, можем записать
1
!
(9.25)
0
0
Согласно теореме Гаусса, заряды проводников равны по величине и противоположны по знаку: 1 2 , а из (7.13)
1
>11 01 00 >12 01 02 ,
>22 02 00 >12 02 01
2
Для одинаковых проводников собственные емкости равны: >11
а поскольку они удалены друг от друга, то можно положить >12
Поэтому
1
1
1 2
2
1
> 01 00
2
> 02 00
а сопротивление заземления
>22
>21
>,
0.
1
> 01 02 ,
2
1 2
20
(9.26)
1
*
Если в качестве заземлителей использовать проводящие шары радиуса ,
то емкость шара > 4 0 (лекция 7), поэтому сопротивление заземления
земли
земли
1
2
(9.27)
На первый взгляд может показаться странным, что сопротивление заземления не зависит от расстояния между заземлителями, а определяется лишь
радиусом шара и проводимостью земли. Это происходит вследствие того, что
при увеличении расстояния между заземлителями растет пропорционально
и суммарная площадь трубок тока в плоскости, находящейся посередине
между проводниками. Поэтому отношение характерной длины трубок тока
к площади их суммарного поперечного сечения остается постоянным, а его
сопротивление даже при низкой проводимости земли может составлять единицы Ом.
На практике для предотвращения поражения электрическим током применяют заземляющее устройство, состоящее из заземлителя (стального или
медного стержня или более сложного элемента) и заземляющего проводника.
Проводник подключается к корпусу заземляемого прибора. Роль второго
электрода играют удаленные предметы с нулевым потенциалом.
Сопротивление заземления должно быть как можно меньше (единицы Ом), что достигается увеличением площади заземляющих электродов
(или их количества) и глубиной их погружения, а также повышением
концентрации солей в грунте вблизи заземлителя. Здесь сечение трубок тока
не велико, и вклад этой области в сопротивление заземления значителен.
Лекция 9
149
Если на заземляющем проводнике, соединенном с прибором, появится
электрическое напряжение, то в земле возникнет радиальное электрическое
поле, под действием которого будет растекаться электрический ток во всех
направлениях, уносящий заряд с заземляемого прибора.
Во время аварии высоковольтной линии конец провода может упасть на
землю, и появится радиальное электрическое поле. Линии равного потенциала этого поля на поверхности Земли будут концентрическими окружностями
с центром в точке падения конца провода.
Может возникнуть опасное шаговое напряжение, равное разности потенциалов между двумя точками поверхности земли, находящимися на расстоянии одного шага человека. Оно зависит от тока и проводимости грунта.
Шаговое напряжение по мере удаления от конца провода будет уменьшаться,
поскольку уменьшается напряженность электрического поля.
Во избежание поражения током, из опасной зоны, где есть шаговое
напряжение, следует уходить «гусиным» шагом или прыжками, держа ноги
вместе.
Электрический ток в жидкостях. Как и твердые тела, жидкости могут
быть диэлектриками и проводниками. Дистиллированная вода, например, —
диэлектрик, а небольшое количество поваренной соли NaCl (тоже диэлектрик), добавленной в дистиллированную воду, делает ее проводником. Проводимость соленой воды связана с распадом молекулы соли на ионы Na
и Cl .
Распад молекул вещества на ионы при растворении его в жидкости
называется электролитической диссоциацией. Теория электролитической
диссоциации была разработана в 1887 г. немецким ученым Р. Клаузиусом
и шведским химиком С. Аррениусом.
При отсутствии внешнего электрического поля ионы находятся в тепловом
хаотическом движении. При встрече ионов противоположного знака может
образоваться нейтральная молекула — произойти рекомбинация. В состоянии
динамического равновесия оба процесса уравновешивают друг друга (число
молекул, распадающихся за секунду на ионы, равно числу пар ионов, объединяющихся в нейтральные молекулы).
Раствор (или расплав), обладающий ионной проводимостью, называется
электролитом. Электролиты — вещества, которые в растворе (или расплаве)
состоят полностью или частично из ионов. Примерами электролитов могут
служить растворы кислот, солей и оснований. Они относятся к проводникам
второго рода, и для них справедливы закон Ома и закон Джоуля–Ленца.
Если в сосуд с электролитом опустить два электрода, подключенные
к источнику ЭДС, то в сосуде возникнет электрическое поле, и пойдет ток.
Электрод, подключенный к положительной клемме источника, называется
анод, к отрицательной клемме — катод. Отрицательные ионы (анионы) начнут двигаться к аноду, а положительные (катионы) — к катоду.
На аноде отрицательно заряженные ионы отдают свои лишние электроны (окислительная реакция), а на катоде положительные ионы получают
недостающие электроны (восстановительная реакция). Отдав или получив
электроны, ионы превращаются в нейтральные атомы. Эти атомы (или образованные из них молекулы) выделяются на электродах.
150
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Таким образом, при ионной проводимости прохождение тока связано
с переносом веществ, входящих в состав электролита, которые выделяются
на электродах. С подобной ситуацией мы сталкивались при обсуждении
принципов действия химических источников тока.
На рис. 9.8 показано оседание ионов меди и хлора на электродах при
прохождении тока в растворе хлористой меди.
Рис. 9.8
Электролиз. Явление выделения на электродах веществ при прохождении электрического тока через электролит называют электролизом (от греч.
«lysis» — разложение, растворение, распад). Электролиз впервые наблюдался
в 1800 г. У. Никольсоном и А. Карлейлем, разложившими воду постоянным
током. Через 7 лет Г. Дэви при помощи электролиза выделил и открыл
натрий.
Электролиз описывается двумя основными законами, экспериментально
установленными Фарадеем в 1832–1834 гг.
Первый закон Фарадея утверждает, что масса выделившегося на
одном из электродов вещества прямо пропорциональна прошедшему через
электролит заряду :
H H ,
(9.28)
где H — электрохимический эквивалент вещества, — сила тока в электролите, — время протекания тока. Электрохимический эквивалент численно
равен массе вещества , выделившегося на электроде при прохождении
1 Кл. Единицей электрохимического
через раствор электролита заряда
эквивалента является 1 кг/Кл.
В табл. 9.1 приведены значения H для некоторых веществ.
Второй закон Фарадея дает связь между электрохимическим и химическим эквивалентом:
1 2
H
(9.29)
$ 3
& =9,65104 Кл/моль — число Фарадея, равное произведению
Здесь
величины элементарного заряда на число Авогадро & , EI — химический
эквивалент, равный отношению молярной массы E к валентности вещества I .
Во втором законе Фарадея заложено понятие элементарного заряда. Поэтому законы электролиза дали основания для выдвижения гипотезы о существовании элементарного электрического заряда и позволили определить его
значение.
Применение электролиза. Явление электролиза широко применяется
в современном промышленном производстве. С помощью электролиза из
солей, оксидов и расплавленной руды получают многие металлы, например,
медь, никель, алюминий, выделяемые на катоде. Электролитический способ
дает возможность получать вещества с малым количеством примесей. Поэтому его применяют для получения многих химически чистых веществ.
Широко развит электролитический способ покрытия металлических изделий слоем благородного или другого металла (золота, платины), не поддающегося окислению. Такой способ называется гальваностегия. Например,
при никелировании предмета он сам служит катодом, кусок никеля — анодом.
Пропуская через электролитическую ванну в течение некоторого времени
электрический ток, покрывают предмет слоем никеля нужной толщины.
До настоящего времени применяется гальванопластика, изобретенная
русским ученым Б. Якоби в 1837 г. Она представляет способ получения
металлических отпечатков рельефных предметов (медалей, монет и др.).
С предмета снимают слепок из воска, покрывают его проводящим графитом
и опускают в электролитическую ванну в качестве катода. Анодом служит
кусок металла, осаждаемого на графитовой поверхности. Этим способом
изготовляют, например, типографские клише. С помощью гальванопластики
152
Раздел 3. Постоянный электрический ток
получают копии изделий сложной формы, копии скульптур и других произведений искусства.
Явление электролиза лежит в основе принципа действия кислотных
и щелочных аккумуляторов, где используется важное свойство процесса электролиза — его обратимость.
Электрический ток в газах. В естественном состоянии газы не проводят
электрический ток. Показателен следующий опыт. Зарядим от электрофорной
машины большой плоский конденсатор, состоящий из двух пластин, между
которыми находится воздух. Подключим к обкладкам электрометр, который
длительной время будет показывать наличие разности потенциалов между
обкладками.
Если внести в пространство между обкладками пламя, то конденсатор
быстро разрядится.
Следовательно, под действием пламени в воздухе появились свободные
носители заряда. Они возникли за счет ионизации воздуха — отделения от
нейтрального атома одного или нескольких электронов. В результате образуется электронный газ и положительные ионы. Часть образовавшихся
электронов может быть при этом захвачена другими нейтральными атомами,
и тогда появятся еще и отрицательные ионы.
Ионизация газа может происходить при бомбардировке нейтральных атомов электронами и ионами (как это происходит в разряде), при падении
рентгеновских и гамма лучей, света (фотоионизация) и космических лучей
(ионизация атмосферы Земли) и т. д. Частично или полностью ионизированный газ, в котором плотности положительных и отрицательных зарядов
одинаковы, называется плазмой.
Факторы, вызывающие ионизацию газа, называются ионизаторами.
Количественной характеристикой процесса ионизации служит интенсивность
ионизации, измеряемая числом пар противоположных по знаку заряженных
частиц, возникающих в единице объема газа за единицу времени. Ионизация
атома требует затраты определенной энергии — энергии ионизации, зависящей от химической природы газа и энергетического состояния вырываемого
электрона в атоме или молекуле. Значения энергии ионизации некоторых
газов даны в табл. 9.2.
Т а б л и ц а 9.2
Элемент
He
Ne
Ar
Hg
Na
K
Rb
Энергия ионизации, эВ
24,5
21,5
13,9
10,4
5,12
4,32
4,68
После прекращения действия ионизатора происходит рекомбинация, и газ
возвращается в естественное состояние.
Механизм проводимости газов похож на механизм проводимости растворов и расплавов электролитов. При отсутствии внешнего поля заряженные
частицы, как и нейтральные молекулы, движутся хаотически. Если ионы
и свободные электроны оказываются во внешнем электрическом поле, то они
приходят в направленное движение и создают электрический ток в газах.
Электрический ток в газе представляет собой суперпозицию направленного движения положительных ионов к катоду, а отрицательных ионов
153
Лекция 9
и электронов к аноду. В потоке отрицательно заряженных частиц доминирующую роль играют электроны. На электродах происходит нейтрализация
заряженных частиц, как и при прохождении электрического тока через электролит. Однако в газах отсутствует выделение веществ на электродах: ионы,
подойдя к электродам, отдают им свои заряды, превращаются в нейтральные
молекулы и диффундируют обратно в газ.
Газовый разряд. Протекание тока через ионизированный газ называется
газовым разрядом. Если ионизация поддерживается внешним ионизатором,
то разряд называется несамостоятельным: после выключения ионизатора
разрядный ток прекращается. Несамостоятельный газовый разряд не сопровождается свечением газа.
Если собрать электрическую схему, изображенную на рис. 9.9, и между
анодом . и катодом H газоразрядной трубки ГТ создать напряжение / , то
в присутствии внешнего ионизатора (например, рентгеновского излучения)
в цепи пойдет электрический ток (от анода к катоду). Если измерить
вольт-амперную характеристику / , то она будет иметь вид, изображенный
на рис. 9.10.
Рис. 9.9
Рис. 9.10
Вначале с ростом напряжения ток будет увеличиваться, а затем достигнет насыщения. Это происходит вследствие того, что при фиксированной
интенсивности ионизации все электроны и ионы достигают своих электродов.
Если ионизатор убрать, то ток прекратится. Это означает, что этот участок
вольт-амперной характеристики соответствует несамостоятельному разряду.
Однако если, достигнув насыщения тока, продолжать увеличивать напряжение / , сила тока опять начнет увеличиваться и может возрасти в сотни
и тысячи раз. Это свидетельствует о появлении большого числа заряженных
частиц. Если теперь убрать внешний ионизатор, то разряд не прекратится.
Поэтому такой разряд называется самостоятельным. Причины его возникновения следующие.
При больших напряжениях электроны приобретают кинетическую энергию, превышающую энергию ионизации. Поэтому «включается» еще один
механизм ионизации — ионизация электронным ударом. Появившиеся свободные электроны, в свою очередь, сами становятся ионизаторами, процесс носит
лавинообразный характер (возникает электронная лавина).
Ионизация лишь электронным ударом не может поддерживать самостоятельный заряд, поскольку лавина электронов, достигая анода, «выбывает
154
Раздел 3. Постоянный электрический ток
из игры». Для поддержания самостоятельного разряда необходима еще эмиссия электронов с катода. Она возникает при ударе массивных положительных
ионов о катод, выбивая электроны с его поверхности.
В газоразрядных приборах или устройствах для поддержания самостоятельного разряда при невысоких напряжениях катод нагревают до большой
температуры. При такой температуре происходит испускание электронов,
называемое термоэлектронной эмиссией. Во многих твердых веществах термоэлектронная эмиссия происходит при температурах, при которых испарение
самого вещества еще мало. Такие вещества и используются для изготовления
катодов.
К основным видам самостоятельных разрядов в газе относят искровой,
коронный, дуговой и тлеющий разряды.
Искровой разряд имеет вид ярких зигзагообразных разветвляющихся
нитей-каналов, которые пронизывают разрядный промежуток и исчезают,
сменяясь новыми нитями. Исследования показали, что каналы искрового
разряда начинают расти иногда от положительного электрода, иногда от
отрицательного, а иногда от какой-нибудь точки между электродами. Это
объясняется тем, что ионизация ударом в случае искрового разряда происходит не по всему объему газа, а по отдельным каналам, проходящим в тех
местах, где концентрация ионов случайно оказалась наибольшей.
Искровой разряд сопровождается выделением большого количества теплоты, ярким свечением газа, треском или громом. Все эти явления вызываются
электронными и ионными лавинами, которые возникают в искровых каналах
и приводят к огромному увеличению давления, достигающему 107 –108 Па
и повышению температуры до 104 К.
Характерным примером искрового разряда является молния (рис. 9.11).
Главный канал молнии имеет диаметр от 10 до 25 см, а длина молнии может
достигать нескольких километров. Максимальная сила тока импульса молнии
достигает десятков и сотен тысяч ампер.
Рис. 9.11
Лекция 9
155
При малой длине разрядного промежутка искровой разряд вызывает
специфическое разрушение анода, называемое эрозией. Это явление было
использовано в электроискровом методе резки, сверления и других видах
точной обработки металла.
С помощью искрового разряда с точностью до нескольких процентов
можно измерить разности потенциалов порядка десятков тысяч вольт. Для
этого на удаленные друг от друга шары подается разность потенциалов. Затем
шары сдвигают до появления искры. Зная расстояние между шарами и электрическую прочность воздуха, с помощью простых формул электростатики
вычисляют разность потенциалов.
В сильно неоднородных электрических
полях, образующихся, например, между острием и плоскостью, между проводом высоковольтной линии электропередачи и поверхностью Земли, заряженным
облаком и громоотводом и пр., возникает
коронный разряд (корона).
Коронный разряд возникает при нормальном давлении в газе. В нем ионизация
газа и его свечение происходят лишь вблизи коронирующих электродов (рис. 9.12).
Если корона возникает у катода (коронирование катода) то это означает, что электроны, вызывающие ударную ионизацию
Рис. 9.12
молекул газа, выбиваются из катода при
бомбардировке его положительными ионами. Если коронирует анод, то рождение электронов происходит вследствие ионизации газа вблизи анода.
При повышенном напряжении корона на острие приобретает вид исходящих из острия и перемежающихся во времени светлых линий (рис. 9.13). Эти
линии, имеющие ряд изломов и изгибов, образуют подобие кисти, вследствие
чего такой разряд называют кистевым.
Рис. 9.13
Заряженное грозовое облако индуцирует на поверхности Земли под собой
электрические заряды противоположного знака, при этом особенно большой
заряд скапливается на остриях. Поэтому перед грозой или во время грозы
нередко на остриях и острых углах высоко поднятых предметов вспыхивают
похожие на кисточки конусы света (рис. 9.14). С давних времен это свечение
называют огнями святого Эльма. Его свидетелями часто становятся альпинисты.
156
Раздел 3. Постоянный электрический ток
Рис. 9.14
Корона сопровождается утечкой тока и потерей электрической энергии.
Для ее уменьшения увеличивают радиус кривизны проводников, а их поверхность делают возможно более гладкой. Чем выше напряжение высоковольтной
линии, тем толще должны быть ее провода.
Тлеющий разряд возникает, как правило, при пониженном давлении
газа (порядка нескольких миллиметров ртутного столба и меньше). В этом
случае увеличивается длина свободного пробега электрона, и за время между
столкновениями он успевает приобрести достаточную для ионизации энергию
в электрическом поле с относительно небольшой напряженностью. Испускание электронов холодным катодом происходит вследствие
ударов положительных ионов и быстрых атомов о катод.
Если рассмотреть длинную трубку с тлеющим разрядом (рис. 9.15), то можно увидеть,
что около катода располагается небольшая
Рис. 9.15
темная область — первое темное пространство, в котором свечение газа не происходит, так как энергия электронов еще
недостаточна для возбуждения молекул газа. Далее идут области тлеющего
свечения и второго (фарадеева) темного пространства. Эти три области образуют катодную часть разряда, за которой следует основная светящаяся часть
разряда, определяющая его оптические свойства и называемая положительным столбом.
Тлеющий разряд используется в газосветных трубках, лампах дневного
света, стабилизаторах напряжения, для получения электронных и ионных
пучков. На рис. 9.16 показаны разрядные трубки, заполненные различными
газами. Комбинации трубок, заполненных различными газами, применяются
в рекламных целях (рис. 9.17).
Если в катоде сделать щель, то сквозь нее в пространство за катодом
проходят узкие ионные пучки, часто называемые каналовыми лучами. В современных технологиях широко используется явление катодного распыления.
Лекция 9
157
Рис. 9.16
Рис. 9.17
Здесь катод изготавливают из того материала, который нужно нанести на
поверхность тела. Под действием удара положительных ионов ультрамикроскопические осколки материала катода летят во все стороны и оседают на
поверхности, образуя тончайшие слои нужной толщины. Так, в частности,
изготавливают металлические зеркала, наносят тонкий слой металла на полупроводниковые элементы и др.
Дуговой разряд был открыт русским ученым В. Петровым в 1802 г. Он
происходит при большой плотности тока и сравнительно небольшом напряжении между электродами (порядка нескольких десятков вольт). На рис. 9.18
показана фотография дугового разряда.
Если уменьшить сопротивление внешней цепи и увеличить силу тока дугового разряда, то вследствие ударной ионизации проводимость газового промежутка
столь сильно возрастет, что напряжение
между электродами уменьшается. Поэтому говорят, что дуговой разряд имеет паРис. 9.18
дающую вольт-амперную характеристику.
При атмосферном давлении температура катода (вследствие его бомбардировки потоком положительных ионов) достигает 3000 ÆC. Электроны, бомбардируя анод, образуют в нем кратер и нагревают анод до температуры около
7000 ÆC. В разрядном канале температура несколько ниже, однако ее с лихвой
достаточно для поддержания термоионизации.
В 1876 г. русский изобретатель П. Яблочков впервые использовал электрическую дугу как источник света (рис. 9.19). В «свече Яблочкова» угли были
расположены параллельно и разделены изогнутой прослойкой, а их концы
соединены проводящим «запальным мостиком». Когда ток включался, запальный мостик сгорал и между углями образовывалась электрическая дуга.
158
Раздел 3. Постоянный электрический ток
По мере сгорания углей изолирующая прослойка испарялась.
Подлинной технической революцией следует признать использование дугового разряда
Н. Бенардосом в 1882 г. для резки и сварки
металла. Он создавал разряд между угольным
электродом и двумя прижатыми друг к другу
металлическими листами, которые сваривались
при высокой температуре. Таким же образом
Бенардос разреза̀л лист и делал в нем отверстия.
В 1888 г. Н. Славянов усовершенствовал
этот метод сварки, заменив угольный электрод
металлическим. В таком виде электросварка
и дошла до наших дней.
Помимо сварки, дуговой разряд используется в многочисленных осветителях (прожекторах и проекционных аппаратах). Дуговые печи,
питаемые током большой силы, служат для выплавки стали, чугуна, ферросплавов, бронзы,
получения карбида кальция, окиси азота и т. д.
Плазма. Под плазмой понимают частично
или
полностью ионизованный газ, в котоРис. 9.19
ром плотности положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Поэтому плазма электронейтральна.
Она характеризуется степенью ионизации — отношением объемной концентрации заряженных частиц к общей объемной концентрации частиц.
Если степень ионизации невелика (порядка нескольких процентов), то
плазма называется слабоионизованной, а если близка к 100 процентам — то
сильноионизованной. Примером слабоионизованной плазмы в естественных
условиях являются верхние слои атмосферы, называемые ионосферой. Солнце
и горячие звезды — это полностью ионизованная плазма, которая образуется
при высокой температуре.
Средние энергии различных типов частиц, составляющих плазму, могут
значительно отличаться одна от другой. Поэтому плазму нельзя охарактеризовать одним значением температуры < . Для нее вводят электронную , а омическое сопротивление цепи пренебрежимо мало. Такая цепь называется идеальным колебательным контуром (рис. 18.1). Если с помощью
ключа H1 зарядить конденсатор зарядом от источника, а затем, отсоединив источник, замкнуть другой
ключ H2 , то в контуре возникнут колебания заряда
на обкладках конденсатора и тока в цепи.
Уравнение, описывающее эти процессы, определяРис. 18.1
ется равенством нулю суммы падений напряжения на
емкости и индуктивности в любой момент времени:
/ /- 0, или
5 1/ 0. Если учесть, что / , то можно
*
записать уравнение для изменяющегося во времени заряда:
2
1
0
(18.1)
2
*
/
Это уравнение незатухающих (собственных) гармонических колебаний, а его
решение имеет вид
0 0 00 ,
(18.2)
5
где
1
(18.3)
*
— угловая частота, 0 и 00 — амплитуда и начальная фаза колебаний заряда,
определяемые начальными условиями.
Наряду с угловой частотой, используется частота 0
0 2 и период
колебаний < 10 .
0
280
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Рис. 18.2
На рис. 18.2 показаны фазы колебаний заряда и тока в контуре и координаты и скорости пружинного маятника. Аналогия между этими колебаниями
представлена нижеследующей таблицей:
Электромагнитные колебания
заряд
ток
"
обратная емкость 1
индуктивность
энергия конденсатора
энергия катушки
2
2
-( 2
2
Механические колебания
координата
"
масса
жесткость
скорость
энергия пружины
кинетическая энергия
2
2
. 2
2
281
Лекция 18
Реальный контур обладает омическим сопротивлением , обусловленным
сопротивлением катушки и утечкой конденсатора. Поэтому в (18.1) следует
, и оно примет вид
добавить падение напряжения /
2
1
0
2
/
*
/
Его решение описывает затухающие колебания:
5
0 Æ
(18.4)
00 ,
(18.5)
2
2
25 — коэффициент, или показатель, затухания,
где Æ
0 Æ —
частота затухающих колебаний. Поскольку в контуре Æ
0 , то апериодический режим не рассматривается.
По аналогии с механикой, логарифмический декремент затухания $ Æ< ,
а добротность контура
1
?
(18.6)
:
*
Типичное значение собственной частоты распространенных колебательных контуров лежит в диапазоне 0 105 108 Гц. Добротность контура
ограничена омическими потерями и составляет ? 102 . Эта величина на
много порядков меньше добротности высокодобротных механических маятников.
Вынужденные колебания в контуре. Резонанс напряжений. Введем
в контур источник с переменной ЭДС, меняющейся по гармоническому закону:
(рис. 18.3). Тогда сумма падений напряжений на всех трех
0
элементах контура в любой момент времени должна равняться внешней ЭДС:
2
/ *1 0
(18.7)
/2
Если ЭДС начинает действовать в момент времени 0,
то колебания величины заряда начнут устанавливаться
в соответствии с соотношением
5
0 Æ
0 0
0
Рис. 18.3
(18.8)
Это соотношение представляет собой суперпозицию собственных затухающих колебаний на частоте и незатухающих вынужденных колебаний на
частоте . Таким образом, колебания установятся по истечении времени
уст
1
(18.9)
Æ
В установившемся режиме амплитуда колебания напряжения на емкости
/ 0 0 > , подобно амплитуде смещения в механике, зависит от частоты
внешней ЭДС:
0
/ 0
(18.10)
2
* 90 9 2 2 4Æ 2 9 2
282
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
График этой зависимости аналогичен амплитудной характеристике маятника и изображен на рис.
18.4 а. Резонанс напряжения на емкости
2
2
происходит на частоте
0 2Æ 0 , практически совпадающей
с собственной частотой 0 колебательного контура.
C0
L0
R0
C
Рис. 18.4
Вблизи этой частоты выражение (18.10) можно упростить, если использовать приближенные равенства:
2
0
2 2
0
2 0 2
4Æ 2
2
4Æ 2
0
2
4
2
0,
2
0
С учетом этих приближенных равенств получаем
/
0
?
0
90 9 2 Æ 2 1
(18.11)
При резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе в ? раз превышает
величину 0 . Ширина резонансной кривой, как и в механике, определяется с помощью (18.11) из условия убывания вдвое энергии конденсатора,
пропорциональной квадрату напряжения на нем:
1
9 2Æ 2 1
1
2
0,7
Отсюда ширина резонансной кривой, или полоса пропускания контура,
получается равной
2Æ 9+0
(18.12)
В радиоприемных устройствах при частоте радиопередатчика 0 106 Гц
полоса пропускания контура, настроенного на эту частоту, при добротности
? 102 будет составлять большую величину
0 ? 104 Гц. Если
разность частот двух радиостанций меньше полосы пропускания, то контур не
позволит выделить по отдельности эти радиосигналы. Поэтому чтобы уменьшить полосу пропускания, частоту высокочастотного радиосигнала вначале
преобразуют до более низкой (промежуточной) частоты П 103 Гц. Тогда
и полоса пропускания уменьшится на три порядка.
Амплитуда напряжения на резисторе /0 0
0
зависит от частоты так же, как и амплитуда скорости (рис. 18.4 б). При частоте
0
283
Лекция 18
2
должно выполняться равенство 5 2
/
что уравнение (18.7) примет вид
*1
0 (см. (18.1)). Это означает,
(18.13)
0
0
/
Таким образом, на резонансной частоте сумма падений напряжений на
емкости и индуктивности равна нулю, а напряжение на резисторе равно
величине внешней ЭДС.
Амплитуда напряжения на индуктивности (аналог амплитуды ускорения)
/-0 0 5 0 2 5 зависит от частоты так, как показано на рис. 18.4 в.
Прирезонансе /-0 ? 0 .
Фазовая
характеристика — зависимость
0 — задается формулой
0
2Æ9
9
2
(18.14)
9 20
Рис. 18.5
и изображена на рис. 18.5. При резонансе колебания заряда (напряжение на емкости) отстают
по фазе от колебаний внешней ЭДС на величину 2: 0 0
2, а колебания напряжения на индуктивности, как нетрудно убедиться, опережают
колебания ЭДС на такую же величину: 0- 2.
Возрастание напряжения на емкости и индуктивности до величины
/ 0 /-0 ? 0 носит название резонанс напряжений. Напряжение на
резисторе (и ток в цепи) при резонансе колеблется в фазе с внешней ЭДС:
0 0( 0.
Переменный ток. Закон Ома. Ток, протекающий в рассмотренном колебательном контуре, изменяется по гармоническому закону
0
00
(18.15)
Такой ток в электротехнике называется переменным электрическим током. Строго говоря, переменным током будет любой периодически изменяющийся во времени электрический ток. Далее под переменным током мы будем
подразумевать ток, описываемый зависимостью (18.15).
Удобно связать силу тока в цепи с величиной внешней ЭДС с помощью
простых правил с использованием понятий активного, емкостного и индуктивного сопротивлений.
Если переменный ток протекает через резистор, то падение напряжение
на нем
/
0 00 ,
(18.16)
а амплитуды напряжения и тока связаны соотношением
/0
0 ,
(18.17)
является активным сопротивлением, поскольку на нем выделяется
где
джоулево тепло.
284
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Напряжение на емкости будет связано с током соотношением:
Ê
Ê
1 / /
10 9/ 0 /
/
10
00
/
*
*
*
9*
2
(18.18)
Амплитуды напряжения и тока связаны соотношением
1
,
(18.19)
9* 0
при этом колебания напряжения на емкости отстают по фазе от колебаний
тока на величину 2: 0
2. Величина 1 > называется емкостным
сопротивлением. С увеличением частоты это сопротивление падает, поскольку уменьшается время зарядки и перезарядки конденсатора и, как следствие,
амплитуда заряда на нем.
При протекании тока через катушку индуктивности напряжение на ней
1
10 9/ 0
/- 5
5
5 0
00
(18.20)
/
/
2
Амплитуды напряжения и тока связаны соотношением
/
0
/-0
5 0 ,
(18.21)
при этом колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания тока на величину 2: 0- 2. Величина 5 называется индуктивным сопротивлением. С увеличением частоты это сопротивление возрастает,
так как увеличивается ЭДС самоиндукции. Поскольку сумма падений напряжений на трех элементах равна внешней ЭДС, то можно записать
0
10
00 9*
00
2
5 0
0
00
00 0
2
(18.22)
Здесь 0 — амплитуда внешней ЭДС, 0 — сдвиг фазы между колебаниями
тока и внешней ЭДС (напряжения на входе цепи). Эти величины можно
рассчитать с использованием тригонометрических преобразований, однако
на практике это предпочтительно сделать либо
с использованием метода векторных диаграмм,
L0
либо с использованием метода комплексных амплитуд.
R0
Метод векторных диаграмм. В курсе
«Механика» отмечалось, что каждому гармоническому колебанию с угловой частотой можно
поставить в соответствие вращающийся с угловой скоростью
вектор, длина которого равна
амплитуде колебаний, а его начальное (стартоC0
вое) положение задается углом 00 , совпадаюРис. 18.6
щим с начальной фазой.
На рис. 18.6 изображен в момент времени 0 вектор тока 0 , вращающийся против часовой стрелки. Вращающийся вектор 0 совпадает с ним по
направлению, вектор 0 повернут по часовой стрелки относительно вектора
285
Лекция 18
тока на 90 градусов, а вектор -0 повернут против часовой стрелки на
90 градусов. Вертикальные проекции всех векторов изменяются во времени
точно так же, как сила тока и соответствующие напряжения на элементах
цепи.
Соответственно ЭДС в цепи будет изменяться как вертикальная проекция
вектора 0 0 0 -0 .
Векторная диаграмма, изображенная на рисунке, называется диаграммой
напряжений. На ней векторы напряжений ориентированы относительно опорного вектора — вектора тока. Из диаграммы получаем
0 /-0
/2
0
/
2
0
Величина
2
0
2
I
5
5
1
2
1
0 I
9*
(18.23)
2
(18.24)
9*
называется полным сопротивлением цепи. Равенство (18.23) является законом Ома для цепи переменного тока.
Для сдвига фазы получаем
.0 . 0
.0
0
9 1 9*
(18.25)
Метод комплексных амплитуд. Если в формуле Эйлера /
0
; 0 под 0 понимать фазу колебаний 0 00, то силу тока можно
0
представить в виде мнимой части комплексного числа:
00 0 0", где 0 0 /0 комплексная амплитуда тока, несущая
информацию об амплитуде тока и начальной фазе его колебаний. Для напряжений можно записать
/
/
/-
1
9*
00
0
00
0
1
9*
2
00
5 0
I 0
2
/0
0"
0" ,
2 0"
0
I
/
0 0"
0
0" ,
(18.26)
5 2 0 0"
I- 0
0"
/-0
0"
В этих выражениях
1
1
2
;
, I5 2 ; 5
(18.27)
9*
9*
— комплексные сопротивления резистора (действительное число), емкости и индуктивности (мнимые числа). Они связывают комплексную амплитуду тока и комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи:
I
,
I
0
/
I 0 ,
/
0
I 0 ,
-0
/
I- 0
(18.28)
286
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Комплексная амплитуда внешней ЭДС, очевидно, будет равна
где
I 0 I 0 I- 0
0
I I- I
I
;
0 ,
I
5
1
(18.29)
(18.30)
9*
— комплексное сопротивление цепи, или импеданс.
Таким образом, использование комплексных сопротивлений, комплексных
амплитуд токов, напряжений и ЭДС позволяет записывать законы Кирхгофа
точно так же, как и в случае постоянных токов.
В частности, если на входе рассмотренной цепи действует электродвижущая сила
, то комплексная амплитуда тока, согласно (18.29),
0
будет равна
0
3
0
;
0
9
1
2
0
9
1
2
;0
0 ;0
(18.31)
—
действительное
число,
амплитуда
тока
совпадает
с
такоЗдесь 0
0
0
вой в (18.23), а сдвиг фазы задается выражением (18.25).
Резонанс токов. Рассмотрим протекание тока через элементы контура,
подключенного параллельно к внешней переменной ЭДС:
0
(рис. 18.7). Для расчета тока - в катушке, тока , текущего через емкость,
и тока , втекающего в контур, поC0
строим векторную диаграмму токов,
C0
в которой в качестве опорного используем вектор 0 (рис. 18.8 а).
L0
L0
Рис. 18.7
Рис. 18.8
Ток в последовательно соединенных резисторе и индуктивности отстает
по фазе от напряжения на величину 0- , которая определяется из (18.25)
при нулевом емкостном сопротивлении: 0- /-0 /0
5 . Поэтому
вектор -0 повернут по часовой стрелке относительно вектора 0 на угол 0- .
Вектор 0 повернут против часовой стрелки на 90Æ , поскольку ток через
емкость опережает на 2 приложенное напряжение. Вектор полного тока
равен 0 -0 0 и составляет с вектором 0 некоторый угол 0.
Если сопротивление 0, то 0- 2, векторы -0 и 0 направлены
практически в противоположные стороны, а полный ток (ток в подводящих
проводах) 0 0. Токи - и изменяются в противофазе и могут достигать
при этом весьма больших значений.
287
Лекция 18
В реальном контуре
5, поэтому 0- 2. При некоторой частоте
внешней ЭДС сдвиг фазы 0 0, а токи - и , находясь почти в противофазе, достигают максимальных значений (рис. 18.8 б). Это явление называется
резонансом токов.
Частота, при которой наступает резонанс токов, определяется из соотношений
9
0
0 -0
0- , 0
> 0 , -0
, 09 2 2
(18.32)
Отсюда получаем
0-
>
52
2
1 9
1 2
1
2
На этой частоте
0>
-0
0,
(18.33)
0
*
0
9
5, то резонансная частота
Если учесть что
0
90 2
2
0
90
0
Ток в подводящих проводах
0
0
0-
9 *
0
0
90 *
0
1 90
1 0
2
2
1 0
+
0
+2
(18.34)
Таким образом, токи в контуре в ? (добротность) раз превышают ток
в подводящих проводах, а сопротивление контура на этой частоте максимально и равно I
?2 . Контур при этом ведет себя как активное сопротивление
(0 0.
Это позволяет использовать резонанс токов в приемных устройствах для
выделения электромагнитного сигнала в узком спектральном интервале частот вблизи резонансной частоты.
В индукционных печах параллельно катушке, создающей переменное магнитное поле, подключают емкость. Если условия резонанса выполняются, то
ток в катушке увеличивается во много раз, а разностный ток в подводящих
проводах при этом относительно невелик.
Работа и мощность переменного тока. Работа переменного тока за
интервал времени на участке цепи определяется по аналогии с (8.16)
выражением
.
"
/
(18.35)
0
Однако здесь есть существенное отличие, состоящее в том, что эта работа
превращается в теплоту лишь при протекании тока через резистор.
288
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Будем считать что ток 0
, а напряжение /
0, и вычислим работу тока за период < 2 . Тогда
.
'
/0
0 0
0
1
/ <
2 0 0
0
/0
(18.36)
Средняя мощность тока равна
1
/
0
(18.37)
(
2 0 0
При протекании тока через индуктивность и емкость 0 2, поэтому
ток не совершает работы за период. Если период разбить на четыре четверти,
то в течение двух из них работа тока положительна и энергия от источника
«закачивается» в электрическую цепь. В течение двух других четвертей
работа источника отрицательна. Это означает, что запасенная в цепи энергия
вновь возвращается источнику. Поэтому средняя мощность равна нулю.
При протекании тока через резистор источник постоянно совершает положительную работу, отдавая энергию. Поскольку /0
0 ,
0 1, то
средняя мощность равна
+
+
1
/
2 0 0
1
2
02
1 .02
2
(18.38)
По этой причине действительную часть комплексного сопротивления I
(18.30) называют активным сопротивлением, а мнимую часть — реактивным сопротивлением.
Такая же мощность (как и в (18.38)) выделяется на резисторе в случае
постоянного тока
0 2 и постоянного напряжения /
/0 2 .
Поэтому принято характеризовать переменный ток и переменное напряжение
соответствующими эффективными, или действующими значениями
10
.0
,
/
(18.39)
2
2
Так, например, эффективное напряжение в жилых помещениях /
220 В, а амплитуда напряжения /0 310 В. В промышленности, где используется трехфазный ток (см. далее), /
380 В, а амплитуда напряжения
/0 537 В.
На всех приборах и устройствах указываются в качестве номинальных
именно действующие значения тока и напряжения.
При вычислении мощности, выделяемой в цепях, содержащих индуктивности, емкости и активные сопротивления, следует иметь в виду, что
мощность выделяется только на активном сопротивлении. В ряде случаев это
позволяет значительно уменьшить объем вычислений.
Например, в последовательном контуре, подключенном к внешнему источнику переменной ЭДС, выделяемая мощность равна + 12 0 0
0.
0
Из векторной диаграммы напряжений на рис. 18.6 следует, что 0
/0 0 , поэтому + 12 02 . При резонансе напряжений ток в цепи
максимален, поэтому максимальна и выделяемая мощность.
289
Лекция 18
В параллельном контуре при резонансе токов
0 1, поэтому мощ0- 1?, и диаграммы токов
ность, с учетом (18.34), где 0 0 ?2 и
(рис. 18.8 б), равна
1
2
+
0 0
1
2
1
2
?2 02
?2 -2 0
2
0-
1
2
-2 0
Здесь она также равна мощности, выделяемой на активном сопротивлении.
Связанные колебательные контуры. На рис. 18.9 изображены два одинаковых контура с емкостью > и индуктивностью 5, между которыми осуществляется индуктивная связь, характеризуемая коэффициентом взаимной
индукции 512 521 .
С учетом ЭДС взаимной индукции 12
!1 и 21 512 !2 уравнения колебаний
512
зарядов на емкостях можно записать в виде
5!1 1 512 !2 0,
*
(18.40)
Рис. 18.9
5!2 2 512 !1 0
*
Для решения системы уравнений введем так называемые «нормальные
1 2 и
1 2 . Складывая, а затем вычитая второе
координаты»
уравнение из первого, получаем независимые уравнения для нормальных
координат:
5 512! * 0,
5 512! * 0
(18.41)
Решения этих уравнений имеют вид
Здесь
0( ,
(( 0((
0
0
1
(18.42)
1
(18.43)
12 *
12 *
— нормальные частоты колебаний, амплитуды 0 и начальные фазы 0
определяются начальными условиями. Поскольку 1
2, 2
2, то колебания зарядов (и токов в контурах) являются суперпозицией колебаний на нормальных частотах, как это обычно происходит
в колебательных системах с двумя степенями свободы.
Два контура могут иметь также емкостную связь с помощью емкости >0
(рис. 18.10). Колебания зарядов в этом случае описываются точно так же, как
и колебания двух одинаковых пружинных маятников, связанных пружиной
жесткостью 0 (см. Механика). Пользуясь аналогией между механическими
и электромагнитными колебаниями, приведенной в начале этой лекции, можем сразу записать выражения для нормальных частот:
(
(
10 В. А. Алешкевич
1 *
1
*
,
(
((
,
((
2 0
1 * 2 *0
(18.44)
290
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Нормальные колебания на частоте ( происходят тогда, когда токи синфазны (текут в контурах в одном направлении). Если токи противофазны
(текут в противоположных направлениях), то колебания происходят на второй
нормальной частоте (( .
Рис. 18.10
Рис. 18.11
Цепочка связанных контуров. Рассмотрим колебания зарядов на емкостях в длинной цепочке связанных & контуров, изображенных на рис. 18.11.
Пронумеруем конденсаторы индексом 1, 2, 3, . . . , & +1. Для контура, образованного конденсаторами с индексами и 1 и катушкой между ними,
сумма падений напряжений на катушке и двух конденсаторах равна нулю,
поэтому справедливо уравнение
1
5
* 1 0,
(18.45)
/
где — ток в катушке этого контура, и 1 — заряды на конденсаторах
справа и слева от катушки. Продифференцируем это уравнение по времени:
1
1 1 1 1 1 1
5 !
0,
(18.46)
5 !
*
*
где "
По аналогии с механикой, где рассматривалась цепочка связанных пружинных маятников, будем искать решение (18.45) в виде
0
K
,
(18.47)
где K — некоторое «волновое» число, подлежащее определению. Подставив
(18.47) в (18.46) и выполнив несложные тригонометрические преобразования,
получим «дисперсионное» соотношение:
2902 9 2
902
2
K,
(18.48)
где 0
1 5> . Граничные условия требуют, чтобы
K & 1 1.
Поэтому K & 1 , или K
& 1, где , , , . . . , & .
В результате частоты нормальных колебаний зарядов равны
2
2 02 1
2 2 02 1
(18.49)
& 1
1 частота (
2 0 , поскольку контур состоит
В частности, при &
из катушки и двух последовательно соединенных емкостей. При & 2 нормальные частоты (
3 0 . Эти частоты совпадают с частотами
0 , ((
в (18.43), если положить >0 > .
291
Лекция 18
Четырехполюсники. Электрическая цепь с двумя входными и двумя
выходными клеммами (рис. 18.12) называется четырехполюсником. Примером четырехполюсника может служить рассмотренная выше цепочка колебательных контуров. Четырехполюсниками являются также трансформаторы,
усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения,
телефонные линии, линии электропередачи и т. д.
На входные зажимы подается исходный сигнал
/1 или 1 , а с выходных снимается преобразованный /2 или 2 . В результате происходит либо передача энергии, либо преобразование и обработка
Рис. 18.12
информации.
Теория четырехполюсников не предполагает никаких определенных потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные»
являются условными.
В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные,
в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, в которых эти
источники отсутствуют. Далее будут рассматриваться пассивные четырехполюсники.
Получим уравнения, связывающие напряжение /1 и ток 1 во входной
цепи с напряжением /2 и током 2 выходной цепи, если они изменяются во
времени по гармоническому закону с некоторой частотой. Если четырехполюсник состоит из & связанных контуров, то, используя метод комплексных
амплитуд и контурные токи, можем записать:
10
/
1
I1 ; , . . . ,
1
20
/
I ;
1
0,
3, 4, . . . , & ,
(18.50)
I2 ;
Здесь индекс обозначает номер контура, I — комплексное сопротивление
его участка, который может примыкать к -му контуру, I11 и I22 — импедансы входного и выходного контуров, ; — комплексные амплитуды контурных
токов, которые для входного и выходного контуров ;1 10 , ;2 20 , знак
минус во втором уравнении означает, что при обходе всех контуров в одном
и том же направлении знаки входного и выходного напряжений (см. рисунок)
различны.
Решая систему & линейных уравнений, получим
10
/
20 712 20 ,
711 /
10
20 722 20 ,
721 /
(18.51)
где постоянные 7 определяются параметрами контуров. Если при перемене
местами входных и выходных клемм токи и напряжения не изменятся, то
четырехполюсник называется продольно-симметричным (711 722 ).
Четырехполюсник характеризуется входным и выходным сопротивлениями, определяемыми как
.10
.20
Iвх
, Iвых
,
(18.52)
110
120
10*
292
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
которые, в отличие от сопротивления участка цепи, не являются постоянными
величинами. Например, при разомкнутом выходе 20 0, Iвых , а Iвх
20
0, Iвых
0, а I0вх
712 711 .
711 721 . При замкнутом выходе /
Входное и выходное сопротивления связаны соотношением
3вых ,12 ,11
Iвх
(18.53)
1 3вых ,21 ,11
Если четырехполюсник работает в таком режиме, при котором входное и
выходное сопротивления одинаковы, то он согласован с цепью, в которую он
включен. Сопротивление
,12
(18.54)
,21
называется характеристическим, или волновым сопротивлением.
Если к выходу четырехполюсника подключена нагрузка с сопротивлением
02 02
IН /
Iвых , то в согласованном
режиме входное сопротивление
712 721 IН .
равно сопротивлению нагрузки: Iвх
Четырехполюсники используются для преобразования напряжений и токов. Эти процессы характеризуются соответствующими комплексными коэффициентами преобразования напряжения и тока
Iхар
Iвх
Iвых
3вых
.20
120
1
(
, H
(18.55)
3вых ,11 ,12
3вых ,21 ,11
.10
110
В согласованном режиме, когда выходное сопротивление определяется
(18.54), оба коэффициента равны между собой:
1
H
1
H
(
H
H
1
2
,
(18.56)
,11 ,12 ,21
коэффициентом
передачи. Его
где комплексное число K ; называется
действительная часть /10 /20 10 20 характеризует отношение
абсолютных величин токов и напряжений, а мнимая часть определяет
фазовый сдвиг.
ЛЕКЦИЯ 19
Частотные фильтры. При наличии реактивных сопротивлений коэффициент передачи четырехполюсника зависит от частоты. Это позволяет его
использовать в качестве частотного фильтра, пропускающего электромагнитный сигнал в ограниченном интервале частот.
Фильтр низких частот представляет собой Т-образный четырехполюсник,
изображенный на рис. 19.1. Рассчитаем его коэффициент передачи.
Введем комплексные сопротивления I; 5
и I
; > , выберем положительное направление
обхода контуров по часовой стрелке и запишем
10
/
20
/
1
I- 10
2
I
I 20
10 I 20 ,
1
I- 20 I 10
2
Рис. 19.1
Отсюда получаем
1
10
/
3
3
/20 I- 1 20 ,
23
43
1
/
3 20
10
1
Сравнивая эти уравнения с (18.51), определяем коэффициенты 7:
711
1
722
3
,
23
при этом
I- 1
712
2
711
712 721
3
,
43
721
3
20
23
(19.1)
1
3
1
,
(19.2)
Характеристическое сопротивление из (18.54) получается равным
Iхар
712 721
где
Г
*
1
92
9Г2
,
(19.3)
2
(19.4)
*
— граничная частота. Ее смысл становится понятен, если рассчитать коэффициент передачи (18.56). Принимая во внимание равенство (19.2), можно
формально записать 711
K , 712 721 K . Тогда
H
1
,11
,12 ,21
1
6 6
2
294
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Таким образом, K
711
1
3
; и 711
1
23
Отсюда следует
1
Если (
1 и
При
Г,
то
92
9Г2
9
9Г2
1,
0
,
0. Из уравнения
Г
K ; , или
; ;
2
92
9Г2
( 0. Из уравнения
1
0,
(19.5)
0 получается
. Тогда
1
2
(19.6)
0 следует
9
9Г2
0,
1и
(19.7)
На рис. 19.2
частотная
зависимость модуля коэффициента пре показана
10
.
образования H /20 /
В диапазоне частот 0 Г согласованный четырехполюсник не оказывает влияния на амплитуды гармонических токов и напряжений, однако, как
следует из (19.7), придает разным гармоническим составляющим различный
фазовый сдвиг.
Рис. 19.2
Рис. 19.3
При ( Г происходит ослабление (затухание) составляющих с одновременным инвертированием (изменением на 180Æ ) их фазы ( . Следовательно, такой четырехполюсник «отрезает» высокие частоты и работает как
фильтр низких частот.
Цепочка & контуров, изображенная на рис. 19.3, будет более качественным
фильтром
с той же полосой
пропускания
0 Г , поскольку
и очень быстро
H / 0 /10 / 0 / 1 0 . . . /20 /10
уменьшается до нуля в области частот ( Г .
Четырехполюсник, изображенный на рис. 19.4, будет фильтром
высоких
частот с полосой пропускания ( Г и частотной зависимостью H
, показанной на рис. 19.5. Расчет его коэффициента передачи производится аналогично предыдущему случаю.
295
Лекция 19
Рис. 19.4
Рис. 19.5
Если полоса пропускания фильтра Г1 Г2 , то фильтр называется
полосовым. Схемы и расчеты таких фильтров можно найти в многочисленных
учебниках по радиотехнике и теории электрических цепей.
Трансформатор (от лат. «transformo» — преобразовывать) — устройство,
предназначенное для преобразования посредством электромагнитной индукции переменного тока или напряжения.
Прообразом современного трансформатора является катушка Румкорфа, названная по имени ее изобретателя немецкого физика Г. Румкорфа
(рис. 19.6). На цилиндрический железный стержень намотана первичная обмотка из толстой проволоки с небольшим количеством витков, а поверх нее —
вторичная обмотка из очень тонкой проволоки, имеющая несколько тысяч
витков.
Рис. 19.6
Первичная обмотка соединялась через прерыватель с источником постоянной ЭДС. Когда ток в первичной обмотке ток достигал определенной
величины, подвижный контакт прерывателя притягивался к стержню (электромагниту), контакт разрывался и ток прекращался. Этот процесс периодически повторялся. При протекании по первичной обмотке последовательности
импульсов тока появляется периодически изменяющееся магнитное поле. Это
поле приводит к появлению во вторичной обмотки ЭДС взаимной индукции, которая пропорциональна числу витков вторичной обмотки и может
достигать величины порядка десятков киловольт. При небольшом расстоянии
296
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
между выходными контактами вторичной обмотки происходит пробой воздуха
(рис. 19.7).
Рис. 19.7
Изобретателем трансформатора является русский физик П. Яблочков,
получивший патент на изобретение в 1876 г.
Современный трансформатор состоит из замкнутого сердечника, на который намотаны первичная и вторичная обмотки. Замкнутый сердечник является магнитопроводом, по которому передается магнитный поток, связывающий
обе обмотки.
Чтобы уменьшить потери на перемагничивание сердечник изготавливается
из магнитомягкого ферромагнитного материала. Обычно используется трансформаторная сталь с добавками кремния, повышающими удельное сопротивление стали. Для устранения токов
Фуко магнитопровод выполнен в виде
набора пластин, изолированных друг
от друга.
Электрическая схема такого трансформатора изображена на рис. 19.8.
Уравнения для токов в обмотках трансформатора, являющегося четырехпоРис. 19.8
люсником, имеют вид
10
; 51 10
1 10
;
521 20 ,
0
; 52 20
2 20
;
512 10 (19.8)
Здесь 10 — комплексная амплитуда внешней переменной ЭДС, 51 и 52 —
индуктивности первичной и вторичной обмоток, 1 и 2 — омические сопротивления контуров, 521 512 — коэффициенты взаимной индукции,
Достаточно просто можно проанализировать работу идеального трансформатора, у которого ничтожны омические сопротивления обмоток и магнитное
поле не выходит за пределы магнитопровода. Тогда 1
; 51 , 2
Н—
20
сопротивление нагрузки, /
—
напряжение
на
нагрузке.
2 20
Если вторичная обмотка разомкнута ( Н , то 20 0, а в первичной
Х
; 5 . Такой
обмотке, как следует из первого уравнения, течет ток 10
1
10
297
Лекция 19
режим работы трансформатора называется режимом холостого хода, а ток
Х — током холостого хода.
10
При нагруженном трансформаторе второе уравнение можно записать
в виде
;9 2 2
10
20
(19.9)
;9 12
Подставляя ток 10 в первое уравнение, получаем
10
1
; 52
21
2
;
521 20
(19.10)
Последнее уравнение можно упростить, если воспользоваться выражениями
для индуктивности 5 E0 E& 2 # (см. (16.29)) и коэффициента взаимной
521 E0 &1 &2 # (см. (11.24)) с учетом магнитной проиндукции 512
ницаемости E материала магнитопровода. Если принять, что площадь сечения # постоянна вдоль магнитопровода, а длины обмоток одинаковы, то
512 521
51 52 . Тогда
20
1
21
10
;9 2
2
;9 21
20
/
2 20
10
2
10
2
1
10
2
&2
,
&1
&2
&1
(19.11)
(19.12)
Трансформатор характеризуется коэффициентом трансформации
H'
.20
10
&2
,
&1
(19.13)
равным отношению напряжений во вторичной и первичной цепях. Если
H' ( 1, то трансформатор называется повышающим, если H' 1, — понижающим.
Рис. 19.9
298
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
В лекционном эксперименте на вход повышающего трансформатора подается переменное напряжение 220 В. Выходные клеммы выполнены в виде двух
вертикальных изогнутых шин (рис. 19.9). Когда напряженность поля между
шинами достигает пробойной величины для воздуха, появляется шнуровой
разряд. Этот разряд зарождается в нижней части, где расстояние между шинами минимально, и затем перемешается вверх. Там разряд гаснет, и процесс
повторяется вновь.
Т
Режимы работа трансформатора удобно анализировать с использованием векторной диаграммы токов, изображенной на рис. 19.10.
При построении диаграммы учтено, что токи
в обмотках связаны с током холостого хода:
Х
10
10 521 51 20 10 H' 20 (следует из
первого уравнения (19.8)). Мощность, потребляемая трансформатором, +
12 10 10 0,
Рис. 19.10
зависит от сопротивления нагрузки Н
2 : чем
меньше это сопротивление, тем больше токи в обмотках и меньше сдвиг фазы
между током и напряжением в первичной обмотке. В режиме холостого хода
0 0, и идеальный трансформатор мощность не потребляет.
В реальном трансформаторе существуют потери электроэнергии, приводящие к его нагреванию. Однако коэффициент полезного действия хороших
трансформаторов может достигать 99 %.
Виды трансформаторов. На практике используются разнообразные
трансформаторы: силовые трансформаторы, автотрансформаторы, трансформаторы тока и напряжения, согласующие трансформаторы, импульсные трансформаторы, разделительные трансформаторы и др.
Силовой трансформатор применяется для преобразования электрической
энергии в электрических сетях и в установках, предназначенных для приема
и использования электрической энергии. Поскольку потери на нагревание
провода пропорциональны квадрату тока через провод, при передаче электроэнергии на большое расстояние выгодно использовать очень большие
напряжения и небольшие токи. Поэтому для транспортировки электроэнергии
сначала повышают напряжения на электростанциях до нескольких сотен
киловольт и затем транспортируют электроэнергию по высоковольтным линиям электропередач (ЛЭП). На трансформаторных подстанциях, находящихся
вблизи потребителей электроэнергии, напряжение понижают до требуемых
величин.
В очень мощных трансформаторах электросетей даже при высоком коэффициенте полезного действия выделяется большая мощность в виде тепла.
Поэтому трансформатор помещается в емкость, заполненную маслом. Масляные трансформаторы применяются при передаче мощности в несколько
мегаватт и более.
Автотрансформатор — электрический трансформатор, обмотки которого
гальванически соединены друг с другом (рис. 19.11). Механически перемещая выходной контакт от одной обмотки к другой, можно получать различные
напряжения на выходе трансформатора.
Лекция 19
299
Преимуществом автотрансформатора является более высокий КПД, меньший расход стали
для сердечника, меди для обмоток, меньший вес
и габариты и в итоге — меньшая стоимость.
К недостаткам относится отсутствие электрической изоляции (гальванической развязки)
между первичной и вторичной цепями. Поэтому
применение автотрансформаторов оправдано для
Рис. 19.11
соединения эффективно заземленных сетей при
небольших коэффициентах трансформации.
Трансформатор напряжения применяется для преобразования высокого
напряжения в низкое в измерительных цепях. Применение трансформатора
напряжения позволяет изолировать логические цепи защиты и цепи измерения от цепи высокого напряжения.
Трансформатор тока применяется для снижения первичного тока до
величины, используемой в цепях измерения, защиты, управления и сигнализации. Первичная обмотка трансформатора тока включается в цепь с измеряемым переменным током, а во вторичную цепь включаются измерительные
приборы.
Согласующий трансформатор. При 52 2 из (19.9) получается 10
20 . Тогда с учетом (19.12) выходное сопротивление трансформатора
H'
связано с входным его сопротивлением равенством
Iвых
.20
120
H' 2 10 H' 2Iвх
110
(19.14)
Поскольку Iвых ( Iвх , то вход трансформатора соединяют с высокоомной нагрузкой, а выход — с низкоомной нагрузкой (например, согласуют
усилитель звуковых частот с низкоомными динамиками и пр.). Согласующие
трансформаторы также используют в высокочастотных линиях (см. далее),
где различие сопротивления линии и нагрузки привело бы к нежелательному
отражению сигнала от концов линии.
Разделительный трансформатор позволяет отделить вторичную цепь
от заземления. Дело в том, что нулевой провод электросети имеет контакт
с «землей», и в отсутствие трансформатора возникает опасность поражения
электрическим током при касании человеком прибора с плохой изоляцией.
Импульсный трансформатор используется для преобразования повторяющихся импульсных сигналов с длительностью импульса до десятков микросекунд с минимальным искажением формы импульса.
Резонансный трансформатор Тесла. В 1896 г. американский изобретатель сербского происхождения Н. Тесла запатентовал прибор, названный «Аппарат для производства электрических токов высокой частоты и потенциала».
В настоящее время он называется трансформатором Тесла по имени своего
изобретателя.
Электрическая схема трансформатора показана на рис. 19.12. Его основу
составляют два связанных колебательных контура с небольшим коэффициентом взаимной индукции между катушками контуров. Первичная обмотка
300
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
(катушка первого контура) содержит несколько витков провода большого
диаметра, а вторичная обмотка (катушка второго контура) содержит много
витков тонкого провода. Один ее конец соединяют с заостренным штырем,
Рис. 19.12
сферой и т. п. Роль конденсатора второго контура выполняет межвитковая
емкость самой катушки индуктивности. На рис. 19.13 показана фотография
демонстрационного трансформатора Тесла.
Рис. 19.13
Оба контура имеют одинаковую (весьма высокую) частоту собственных
колебаний. Колебания в первом контуре начинаются при напряжении на конденсаторе, при котором происходит разряд (возникает дуга) между массивными электродами разрядника. Для этого первый контур подключен к выходной
обмотке обычного повышающего трансформатора, питающегося от обычной
сети переменного тока с частотой 50 Гц. Таким образом, в первом контуре
периодически возникают затухающие собственные колебания напряжения
несколько киловольт с частотой порядка сотни килогерц.
Во втором контуре, настроенном в резонанс с первым, колебания напряжения будут многократно усилены. Напряжение на вторичной катушке может
Лекция 19
301
достигать десятков миллионов вольт. Этого оказывается достаточно, чтобы
в окружающем штырь или сферу пространстве появились завораживающие
разряды, как это показано на рис. 19.14, а газоразрядная трубка кольцевой
формы начинала светиться (рис. 19.15).
Рис. 19.14
Рис. 19.15
Трансформатор использовался самим изобретателем для беспроводной передачи энергии и информации с помощью возникающих при этом электромагнитных волн (см. лекцию 20).
На практике он применяется для поджига газоразрядных ламп, поиска
течей в вакуумных системах и др.
Генераторы электрического тока. Для выработки электроэнергии применяются генераторы, превращающие механическую энергию в электрическую. Принцип работы генераторов основан на явлении электромагнитной
индукции.
302
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
В первом генераторе, построенном во Франции И. Пикси в 1832 г., тяжелый постоянный подковообразный магнит вращался вблизи двух неподвижных катушек с железным сердечником, в которых возникал переменный
ток. В дальнейшем конструкция генераторов претерпела принципиальные
изменения.
Современный генератор состоит из индуктора — магнита или электромагнита, создающего магнитное поле, и якоря — обмотки, в которой при изменении магнитного потока возникает индуцированная ЭДС. Вращающаяся
часть называется ротором генератора, а неподвижная его часть — статором.
На роторе установлены контактные кольца, по которым скользят контактные
пластинки (щетки). Через щетки к вращающемуся ротору подводится электрический ток.
Для понимания процесса генерации наиболее просто рассмотреть генератор, в котором якорем является вращающаяся рамка (ротор), а индуктором — статор (рис. 19.16). При равномерном вращении рамки в магнитном поле 1 с угловой скоростью
поток индукции однородного магнит1&#
00 (# — площадь витка, & — число витного поля &
ков рамки, 00 — начальный угол между вектором индукции и нормалью
к плоскости рамки). Поэтому переменная электродвижущая сила в рамке
1&#
00 .
/
Рис. 19.16
Рис. 19.17
Лекция 19
303
Если сделать контактные кольца разрезными, то ток, периодически изменяя свое направление в рамке, через щетки будет течь в одном направлении.
Разрезные кольца называются коллектором (рис. 19.17). Для того чтобы электрический ток был постоянным, ротор содержит много рамок, повернутых на
небольшой угол друг относительно друга. В результате коллектор состоит из
множества пар пластин, подключенных к концам соответствующих рамок.
Генераторы с вращающимся якорем используются при невысоких напряжениях (до 380/220 В) и небольших мощностях (до 15 кВт).
Синхронный генератор переменного тока. На рис. 19.18 показано
устройство генератора, в которой якорем является статор, а индуктором —
ротор. Скорость вращения индуктора и создаваемого им поля одинаковы,
поэтому генератор называется синхронным. По такой схеме построены мощные генераторы, поскольку удобнее отводить большую электрическую мощность с неподвижного статора.
Рис. 19.18
Ротор выполнен в виде сердечника, в пазах которого уложены катушки. Он вращается внутри неподвижного статора, являющегося по существу
вторым сердечником. В пазах статора также уложены обмотки, в которых
возникает ЭДС.
Для изготовления ротора и статора применяют электротехническую сталь.
Зазор между сердечниками (ротором и статором) стремятся сделать как
можно меньше. Этим, согласно формуле Гопкинса, уменьшается магнитное
сопротивление зазора и увеличивается магнитный поток.
Ток к ротору подводится через контактные кольца, по которым скользят
контакты — щетки. Этот ток вырабатывается либо отдельным генератором
304
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
постоянного тока (возбудителем), расположенным на том же валу, либо
создается генерируемой в статоре ЭДС. В последнем случае происходит
процесс самовозбуждения генерации. Поскольку сердечники после остановки
генератора еще длительное время сохраняют остаточное намагничивание, то
при запуске генератора из состояния покоя возможно появление небольшой
ЭДС в обмотке статора и без постоянного тока, питающего ротор. Если
использовать эту ЭДС для питания ротора, то начнется процесс самовозбуждения генерации тока.
В маломощных генераторах ротором является постоянный магнит. В этом
случае надобность в щетках отпадает.
Генерируемый ток снимается с обмоток статора. Частота тока равна числу
оборотов ротора в единицу времени. Современные генераторы позволяют
вырабатывать мощность в несколько сотен мегаватт.
Трехфазный ток. Трехфазная система переменного тока с шестью проводами была изобретена в 1888 г. Тесла. В 1889 г. русский изобретатель
М. Доливо-Добровольский предложил трехфазную систему с тремя проводами. На электротехнической выставке во Франкфурте-на-Майне в 1891 г. он
продемонстрировал опытную высоковольтную электропередачу трехфазного
тока протяженностью 175 км. Для этого он использовал трехфазный генератор, имевший мощность 230 кВт при напряжении 95 В.
Устройство трехфазного синхронного генератора схематически показано
на рис. 19.19. В пазах сердечника статора расположены три одинаковые
обмотки I, II и III, сдвинутые относительно друг друга на 120Æ . При равномерной частоте вращения ротора в обмотках статора индуцируются гармонические ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе относительно друг друга на
угол 23. Каждая из ЭДС находится в своей фазе периодического процесса,
поэтому часто называется просто «фазой». Также «фазами» называют обмотки генератора и приемника. Концы обмоток (фаз) подключены к трехфазной
электрической цепи — совокупности трех однофазных электрических цепей.
Фазы соединяют звездой или треугольником.
Рис. 19.19
Звездой называется такое соединение, при котором концы обмоток генератора соединяют в одну общую точку, называемую нейтральной точкой
Лекция 19
305
или нейтралью. Концы обмоток трехфазного приемника (электродвигателя,
трансформатора и др.) соединяют также в одну точку — нейтраль (рис. 19.20).
Провод, соединяющий две нейтрали, называется нейтральным. Три провода,
соединяющие обмотки генератора и приемника, называются линейными проводами.
Рис. 19.20
Напряжение /ф между линейным проводом и нейтралью называется фазным. Напряжение /Л между двумя линейными проводами называется линейным. На векторной диаграмме, изображенной на рис. 19.21,
показаны три вектора ф , повернутые относительно друг друга на угол 120Æ , и вектор Л . Из диаграммы видно, что /Л
3 /ф . В частности, если эффективное
напряжение /ф 220 В, то /Л 380 В.
Аналогично ток ф , текущий в обмотке генератора или приемника, называется фазным
током, а ток Л в линейном проводе — линейным током. При соединении звездой Л ф ,
а вектор тока в нейтрали Н Л1 Л2 Л3 .
Если сопротивления I1 , I2 и I3 приемника равны между собой, то такую нагрузку называют симметричной. В этом случае ток Н
Рис. 19.21
в нейтрали отсутствует, и нейтральный провод
можно удалить.
При соединении генератора и приемника звездой (рис. 19.22) используется
три провода. Фазное и линейное напряжения совпадают (/ф /Л , а линей3 ф .
ный ток больше фазного: Л
Рис. 19.22
306
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Передача электрической энергии на дальние расстояния по трехфазным
цепям более выгодна, чем передача энергии по однофазным цепям. Трехфазные синхронные генераторы, трехфазные синхронные и асинхронные двигатели и трансформаторы (см. далее) более просты в производстве, экономичны
и надежны в эксплуатации. В трехфазных системах достаточно просто получить вращающееся магнитное поле, воздействие которого на проводники
с током положено в основу принципа работы асинхронных и синхронных
электродвигателей.
Электродвигатели. Синхронные генераторы обладают свойством обратимости, поэтому используются как электродвигатели переменного тока. В самом деле, если обмотку статора подключить к трехфазной сети переменного
тока, то внутри статора возникнет вращающееся магнитное поле, частота
вращения которого будет равна частоте переменного тока. Тогда на ротор, по
обмоткам которого течет постоянный ток от внешнего источника, будет действовать момент сил, который стремится увлечь ротор во вращение. В результате ротор будет вращаться с той же частотой (синхронно), что и магнитное
поле. Поэтому такойдвигатель называется синхронным двигателем.
Важно отметить, что ток в обмотку ротора подается от постороннего источника, а не индуцируется в нем магнитным полем статора и, следовательно,
не зависит от частоты вращения вала двигателя. Поэтому частота вращения
ротора не зависит от нагрузки.
При ненагруженном роторе (холостом ходе электродвигателя) вектор магнитного момента вращающегося ротора практически совпадает с вектором
индукции вращающегося магнитного поля статора, поэтому момент сил
практически равен нулю.
При нагруженном двигателе ротор под действием приложенного к валу
внешнего нагрузочного момента 8Н смещается на некоторый угол против
направления вращения. Этот угол определяется равенством 8Н + 1
.
Если 8Н + 1 , то синхронизм нарушится, и двигатель остановится. Этот
режим считается аварийным, поскольку по обмоткам статора будут протекать
недопустимо большие токи. Синхронные двигатели используются в установках большой мощности (свыше 50 кВт).
Асинхронный двигатель. Ротор может следовать за вращающимся полем
статора и в отсутствие постоянного тока, протекающего по его обмоткам.
Если ротор изготовлен из массивного проводника, то в нем возникают токи
Фуко, взаимодействующие с вращающимся магнитным полем. Сила этих
токов зависит от разности частот вращения поля и ротора. Поэтому развиваемый двигателем крутящий момент будет зависеть от скорости вращения
ротора. Такой двигатель называется асинхронным двигателем.
В асинхронном двигателе в пазы сердечника ротора закладываются обмотки, которые бывают двух видов: фазная и короткозамкнутая. Соответственно
этому асинхронные двигатели бывают с фазным и короткозамкнутым ротором.
Короткозамкнутая обмотка напоминает беличье колесо (рис. 19.23 а).
Двигатель с такой обмоткой не имеет щеток, поэтому весьма надежен и
долговечен. У фазного ротора обмотка выполняется трехфазной, аналогично
обмотке статора (б).
Лекция 19
Рис. 19.23
Рис. 19.24
Рис. 19.25
307
308
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
На рис. 19.24 показан разрез асинхронного двигателя с фазным ротором.
В станине располагаются обмотки статора. Обмотки ротора соединены с контактными кольцами, по которым скользят щетки, через которые ток поступает
в обмотки ротора. Контактные кольца изготавливают из латуни или стали,
а щетки — из металлографита.
Еще проще устроен двигатель с короткозамкнутым ротором, разрез которого показан на рис. 19.25. В нем отсутствуют контактные кольца и щетки.
На практике подавляющее число применяемых в промышленности электрических двигателей являются асинхронными.
Генерация электроэнергии. Сейчас около 50 % всей электроэнергии
мира производится на тепловых электростанциях (ТЭС). Электрогенератор
приводится во вращение паровой турбиной, пар для работы которой получается при сгорании органического топлива. ТЭС потребляет невосполняемые
природные ресурсы и кислород, загрязняет окружающую среду, выбрасывая
в атмосферу миллионы тонн золы и сернистого ангидрида, и имеют коэффициент полезного действия не более 30–35%.
По количеству вырабатываемой энергии на втором месте находятся гидравлические электростанции (ГЭС), производящие наиболее дешевую энергию. В них поток падающей воды приводит во вращение турбину электрогенератора. Современная ГЭС может производить до 7 ГВт энергии, что вдвое
превышает показатели действующих в настоящее время ТЭС. ГЭС являются
весьма эффективными источниками энергии, поскольку используют возобновляемые ресурсы, они просты в управлении и имеют высокий КПД. Существенным недостатком ГЭС является дороговизна строительства, сезонность
их работы, затопление больших площадей при перекрытии равнинных рек.
Разновидностью ГЭС являются приливные станции (ПЭС). Например,
в Охотском и Беринговом морях во время прилива уровень воды поднимается
на 13 метров. Напор приливной волны можно также использовать для производства электроэнергии. Недостаток ПЭС очевиден — энергия генерируется
лишь во время прилива и отлива. Да и стоимость ПЭС весьма велика.
Весьма эффективны гидроаккумулирующие электростанции (ГАЭС). Их
действие основано на цикличном перемещении одного и того же объема воды
между двумя бассейнами: верхним и нижним.
В ночные часы, когда потребность электроэнергии мала, вода перекачивается из нижнего водохранилища в верхний бассейн, потребляя при этом
излишки энергии, производимой ГАЭС ночью (остановки ТЭС в ночное время
невозможны).
Днем, когда резко возрастает потребление электричества, вода сбрасывается из верхнего бассейна вниз, вращая турбины ГАЭС.
Во многих странах мира достаточно широкое распространение получила
ветроэнергетика. Доля произведенной электроэнергии с помощью ветрогенераторов в мире в настоящее время достигает нескольких процентов.
Солнечная энергетика является также экологически безопасным способом производства электроэнергии, и поэтому получает все большее распространение. Это обусловлено созданием прорывных технологий, позволяющих
производить фотоэлементы и фотопанели (см. лекцию 25) с высокой эффективностью преобразования солнечной энергии в электрическую.
Лекция 19
309
Недостатком этого способа производства электроэнергии является прежде
всего зависимость от погоды и времени суток и высокая стоимость фотоэлементов.
Наиболее перспективной в настоящее время считается атомная энергетика. На атомной электростанции (АЭС) пар, приводящий во вращение
турбины, вырабатывается за счет энергии, высвобождающейся при атомной
реакции.
Первая в мире АЭС была запущена в СССР в г. Обнинске в 1954 г.
АЭС, работающие в штатном режиме, абсолютно не загрязняют окружающую
среду, не требуют привязки к источнику сырья и, соответственно, могут быть
размещены практически везде. Новые энергоблоки имеют мощность, практически равную мощности средней ГЭС, при этом эта мощность генерируется
постоянно, в то время как полная мощность ГЭС вырабатывается только при
необходимом напоре воды.
Недостаток АЭС также очевиден: возникновение опасности заражения
местности при форс-мажорных обстоятельствах и при захоронении радиоактивных отходов.
ЛЕКЦИЯ 20
Колебания тока в двухпроводной линии. Будем уменьшать линейные
размеры колебательных контуров и одновременно увеличивать их число,
& (рис. 18.11), так, чтобы длина линии оставалась постоянной. В пределе мы получим двухпроводную линию, характеризуемую емкостью (7.5)
и индуктивностью (16.35) единицы длины линии:
*
>1
0
,
51
20
(20.1)
Эти формулы справедливы, если расстояние между осями проводов
провода. Если ось )* направить вдоль
значительно превышает радиус
линии, то уравнение (18.46) для элемента линии * можно переписать в виде
51 *
21
/2
1 1 1 1
*1
Разделив на * и переходя к пределу при *
уравнение
21
1 21
1 *1 2
/2
0
(20.2)
0, получаем волновое
(20.3)
Скорость распространения волны тока вдоль линии
'
1
1 *1
1
0 20
3 108 мс
(20.4)
и равна скорости света в вакууме!
Длинная двухпроводная линия обладает бесконечно большим числом нормальных частот, поэтому колебания тока в ней можно возбудить на любой
частоте
2 .
Телеграфные уравнения. Получим
уравнения, описывающие распределение
тока *, и напряжения / *, между проводами вдоль двухпроводной линии электропередачи, характеризующейся индуктивностью 51 , емкостью >1 , активным сопротивлением 1 и проводимостью F1 среды (изоляции) между проРис. 20.1
водами, приходящимися на единицу длины линии. На рис. 20.1 показан фрагмент
линии с током и изображены два сечения, в которых напряжение между
проводами равны / *, и / * *, соответственно.
311
Лекция 20
Изменение напряжения вдоль элемента * линии равно сумме падений
напряжений на активном сопротивлении и индуктивности, поэтому
1 , /
*
/
/ *, / * *, *, 1 * 51
(20.5)
/
Изменение силы тока вдоль элемента * линии подчиняется закону сохранения заряда и составит величину
. , /
* *, *, >1
* F1 / *, *
(20.6)
/
Разделив оба уравнения на * и используя частные производные,
получаем систему дифференциальных уравнений, называемых телеграфными уравнениями:
.
1
,
(20.7)
1 51
/
1
.
>1
F1 /
(20.8)
/
Эти уравнения были получены в 1874 г. английским физиком О. Хевисайдом,
разработавшим модель линии электропередачи.
0, 1
0 . В этом идеализированном случае
Линия без потерь ( 1
волна тока или напряжения распространяется вдоль линии без затухания.
Если линия подключена к источнику переменной ЭДС, то ток в ней
*, 0
(20.9)
0 *,
' — волновое число. Длина волны тока связана с частотой
где
соотношением
2
M
(20.10)
Подставим (20.9) в уравнение (20.7) в отсутствие потерь. Тогда
.
1
51
51 0
*
/
Интегрируя это уравнение, находим
.0 1 10 9
1
*
(20.11)
*1 0
Отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока называется волновым сопротивлением линии, которое равно
/ *,
*
1
(20.12)
*1
Если линия на конце нагружена на омическое сопротивление Н Iволн ,
то в линии будет только бегущая волна (линия согласована с нагрузкой).
Если согласования нет, то часть волны тока (напряжения) отразится. Если,
например, на конце линия короткозамкнута или разомкнута, то в ней установится стоячая волна тока и напряжения.
Если пользоваться аналогией с механикой, то волна напряжения эквивалентна волне смещения, например, шнура, а волна тока — волне скорости.
Iволн
312
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Разомкнутой линии соответствует свободный конец шнура, а замкнутой —
закрепленный конец. В первом случае на конце линии будет пучность напряжения и узел тока, а во втором случае — узел напряжения и пучность тока.
Если в бегущей волне колебания тока и напряжения находятся в фазе, то
в стоячей волне межу ними появляется сдвиг фаз, равный 2.
В линии длиной могут существовать нормальные колебания (моды) тока
и напряжения. Нормальные частоты этих мод определяются граничными
условиями. Если граничные условия одинаковы, то M 2 2 ,
или
2 При разных граничных условиях
2 1M4
2 14, поэтому 2 14 ( 1, 2, 3, . . .).
Затухание волны в линии. При наличии потерь будем искать решение
телеграфных уравнений в виде бегущих волн тока и напряжения:
*,
0 ; K*,
/ *,
0 Iволн ; K*,
(20.13)
где K — константа, описывающая изменение амплитуды и скорости волны,
Iволн — волновое сопротивление линии с потерями.
Подставляя (20.13) в телеграфные уравнения (20.7)–(20.8), находим
K
1;
Iволн
51 F1 ; >1
1 ;9 1
1 ,
а волновое сопротивление становится равным (20.12). В связи с развитием компьютерных технологий и Интернета широкое
применение получил кабель связи, называемый витая пара, изображенный на рис. 20.2
Этот кабель состоит из нескольких пар скруРис. 20.2
ченных изолированных медных проводников.
Лекция 20
313
Скручивание позволяет уменьшить влияние электромагнитных помех, возникающих от внешних источников. Каждая пара имеет свой шаг скручивания,
что позволяет «развязать» пары друг от друга. По таким парам распространяются электрические импульсы, переносящие информацию в цифровом
формате.
Волновое сопротивление пары составляет около 100 Ом. Частота следования импульсов у лучших кабелей может превосходить 1 ГГц, поэтому
скорость передачи информации может достигать несколько десятков гигабит
в секунду.
Электромагнитная волна. В окружающем линию пространстве присутствуют изменяющиеся во времени и в пространстве электрическое и магнитное поля. Совокупность этих полей представляет электромагнитную волну.
Если в линии существует бегущая волна тока (или напряжения), то вдоль
линии бежит электромагнитная волна. При отражении волны тока (или
напряжения) происходит отражение электромагнитной волны.
На рис. 20.3 показаны линии электрического и магнитного полей для
бегущей волны в некотором сечении двухпроводной линии в фиксированный
момент времени. Линии магнитного поля охватывают проводники, а линии
электрического поля направлены от проводника с большим потенциалом
к проводнику с меньшим потенциалом. Электрическое и магнитное поля
колеблются в фазе. Вектор Пойнтинга
(см. (17.34)) направлен
вдоль проводов.
Рис. 20.3
Напряженность электрического поля в проводах очень небольшая вследствие их высокой проводимости. Поэтому и ток смещения, в соответствии
с (17.23), значительно меньше тока проводимости.
Наоборот, в пространстве между проводниками ток проводимости мал по
сравнению с током смещения. Для того чтобы не перегружать рисунок, линии
магнитного поля, охватывающие ток смещения, не изображены.
В стоячей волне колебания электрического и магнитного полей сдвинуты
по фазе на 2. Положение узлов и пучностей полей % и B повторяют
положения узлов и пучностей / и соответственно.
Резонансы Шумана. Эксперименты, выполненные Тесла, привели к открытию стоячих электромагнитных волн сверхнизких частот в пространстве
между Землей и окружающей ее ионосферой. Эти волны легко огибают
314
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
земной шар. По поводу их происхождения существует несколько гипотез.
Самая распространенная из них — грозовая гипотеза, согласно которой эти
волны вызваны разрядами молний в различных уголках нашей планеты.
Впоследствии, в 1952 г. немецким профессором В. Шуманом были рассчитаны частоты этих стоячих волн, которые получили название резонансов Шумана. Стоячая электромагнитная волна существует в ограниченном околоземном пространстве вплоть до высот порядка 100 км, поскольку выше находится
хорошо проводящая ионосфера, куда волна из-за скин-эффекта проникнуть
не может. Ее частота определяется из условия, чтобы на периметре Земли 3
укладывалось бы целое число длин волн: 3 M , или 3 .
Полагая 3 40 000 км, получаем 7,5 Гц. Экспериментально измеренные частоты оказались равными 7,83; 14,1; 20,3; 26,4; 32,4 Гц.
Различие с теорией обусловлено тем, что при теоретическом расчете
не учитывалась проводимость Земли и проводимость ионосферы. Если же
принять это во внимание, то скорость волны '
и резонансные
частоты уменьшатся приблизительно на 20 %.
С резонансами Шумана и электромагнитными волнами, огибающими Землю, связано много историй, подчас невероятных. По недостоверным сведениям, Тесле якобы удалось транспортировать большую электромагнитную
энергию из одного полушария в другое.
Достоверно установлено, что Тесла создавал многометровые разряды вокруг медного метрового шара, установленного на вершине 60-метровой мачты
в Колорадо-Спрингс (США, 1899 г.). Шар был соединен с резонансным трансфоматором, частота колебаний контуров которого достигала сотен килогерц,
а напряжение на вторичной катушке — миллионов вольт.
На основании эксперимента Тесла сделал вывод о том, что устройство позволило ему генерировать волны, которые распространялись от шара на мачте,
могли огибать земной шар и затем сходиться (фокусироваться) на другом
конце Земли. Существует мнение, что явление, известное как «Тунгусский
метеорит» (1908 г.), является результатом этой фокусировки, а не падением
метеорита.
Немецкий врач Г. Кениг обратил внимание на совпадение основной частоты резонанса Шумана с частотой альфа-ритма мозга человека. С тех
пор высказываются разнообразные бездоказательные утверждения по поводу
возможного влияния этих волн на психику человека: телекинез, ясновидение,
получение информации и т. д.
Распространение возбуждений между нейронами. Телеграфные уравнения широко применяются для описания распространения электромагнитных
сигналов в разнообразных линиях, кабелях, волноводах и т. п. В качестве
иллюстрации рассмотрим механизм распространения возбуждения в нервных
и мышечных волокнах.
Сложность и многообразие функций нервной системы определяются взаимодействием между нейронами, которое осуществляется с помощью сигналов,
распространяющихся по длинным отросткам — аксонам (рис. 20.4).
Аксон, или нервное волокно, можно рассматривать как коаксиальный кабель
с поперечным размером порядка десяти микрон. Внутренняя часть — цилиндрическая сердцевина, аксоплазма — обладает высоким сопротивлением 1 .
315
Лекция 20
Она окружена оболочкой — клеточной мембраной с проводимостью F1 .
Мембрана изолирует аксоплазму от хорошо проводящей окружающей жидкой
среды.
В невозбужденном состоянии поверхность
мембраны является эквипотенциальной (снаружи
хороший проводник), при этом на внутренней
поверхности распределены отрицательные ионы
калия, а на внешней — положительные ионы натрия.
Появление нервного импульса означает, что
в области его нахождения ионы натрия через
мембрану проникают внутрь волокна, а ионы калия — наружу. Это, в свою очередь, означает, что
по обе стороны от поверхности мембраны в разных направлениях протекают токи , приводящие
к переполяризации мембраны (появлению так называемого потенциала действия), как показано
на рис. 20.5.
Рис. 20.4
Рис. 20.5
Скорость распространения нервного импульса варьируется от величин
порядка '
1 м/с (тонких волокнах) до 100 м/с (в толстых волокнах).
Нервное волокно являетcя плохим волноводом из-за большого сопротивленияаксоплазмы и относительно высокой проводимости мембраны. Тогда K
1 ; 51F1 ; >1 1 F1 , и длина затухания *0
1
1–10 мм. Однако присутствующие в волокне молекулярные
1 F1
генераторы подпитывают бегущий импульс и он проходит существенно
большие расстояния.
Условие квазистационарности. Длина волны тока в линии равна
M ' . При использовании законов Ома и Кирхгофа применительно к переменному току мы предполагали, что в любой момент времени ток во всех
участках цепи одинаков. Такое предположение справедливо при выполнении
двух условий:
1. Длина волны тока должна быть намного больше характерной длины 0
цепи: M 0 , или
(20.17а)
0
316
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
2. Ток смещения должен быть мал по сравнению с током проводимости. Если плотность тока проводимости меняется во времени по закону
0 2
0 @0
@ @0
2, то, как следует из (17.23), @см
2.
/
1, или
Током смещения можно пренебречь, если 0 2!
20
(20.17б)
Неравенства (20.17) налагают ограничение на частоту тока и являются условиями квазистационарности.
Для переменного тока с частотой 50 Гц первое условие выполняется
1000 км. Второе условие выполняется в проводниках практически
для 0
при любых частотах переменного тока.
Излучение электромагнитных волн. Электромагнитные волны могут
«отрываться» от двухпроводной линии и излучаться в открытое пространство.
На рис. 20.6 а изображена открытая двухпроводная линия, подключенная
к источнику переменной ЭДС частоты . По проводам течет неквазистационарный переменный ток, имеющий длину волны M . Если длина
M4, то в проводе установится стоячая волна тока
каждого провода
и напряжения с пучностью тока на входе в линию и пучностью напряжения
(заряда) между концами проводов. Распределение зарядов и электрическое
поле показаны в разные моменты времени в течение периода колебаний
< 1 на рис. 20.6 б.
Рис. 20.6
По существу, открытая линия представляет собой диполь, величина дипольного момента которого изменяется по гармоническому закону. Возникшая
электромагнитная волна вокруг проводов будет отрываться от них и уходить
в открытое пространство. На рис. 20.7 показано распределение в пространстве электромагнитного поля, излучаемого диполем. Здесь изображены линии электрического поля, а магнитное поле перпендикулярно электрическому
и колеблется с ним в фазе.
Существование электромагнитных волн впервые доказал немецкий физик
Г. Герц в своих опытах, проведенных в период 1885–1889 гг. Источником
электромагнитного излучения являлся искровой разряд, возникающий между
двумя шариками, подключенными к концам вторичной обмотки катушки
Румкорфа (рис. 20.8). Шарики находились на стержнях, на противоположных
концах которых располагались пластины конденсатора (П1 и П2 ), накапливающие переменный заряд.
Лекция 20
317
Рис. 20.7
Рис. 20.8
Первичная обмотка вместе с конденсатором > образовывала колебательный контур, подключенный через прерыватель к источнику постоянного
напряжения. Когда постоянный ток от источника, проходя через катушку,
намагничивал ее железный сердечник, он притягивал подвижной контакт,
и цепь разрывалась. В результате между шариками периодически возникали
разряды, а в контуре — колебания тока. После затухания этих колебаний
контакт замыкался и процесс повторялся снова.
Таким образом, в обмотках катушки возникали следующие друг за другом
импульсы переменного тока, а в окружающем пространстве — цуги электромагнитных волн. Перемещением пластин вдоль стержней изменялась длина
излучаемой волны.
Волны улавливались с помощью удаленного на несколько метров от излучателя разрезного кольца, между шариками которого с такой же периодической последовательностью проскакивали маленькие искры.
318
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Герцу удалось не только обнаружить волны, но и исследовать скорость их
распространения, отражение, преломление и даже поляризацию. После изучения свойств волн и измерения их скорости распространения он доказал их
полную аналогию со световыми волнами. Результаты своих исследований он
опубликовал в 1888 г. Этот год считается годом открытия электромагнитных
волн и экспериментального подтверждения теории Максвелла.
Волновое уравнение. Возможность распространения волн в вакууме легко доказывается выводом волнового уравнения как для вектора , так и для
вектора . Применим операцию к обеим частям уравнения (17.24) и учтем
тождество для произвольного вектора : . Тогда
можем записать:
E0 /
(20.18)
Изменим в правой части (20.18) порядок дифференцирования по времени
и координатам. Наконец, учтем, что, согласно (17.25), 0 G G,
а уравнение (17.26) можно записать как 0 0. Поэтому уравнение
(20.18) сведется к виду
2
1
(20.19)
2
/
0 20
Это известное волновое уравнение, подобное уравнению, описывающему
в механике распространение акустических волн. Скорость электромагнитной
волны определяется постоянными 0 и E0 и равна
1
0 20
3 108 мс
(20.20)
Аналогичное волновое уравнение можно получить и для вектора , если
использовать другую пару уравнений Максвелла.
Если записать оба векторных волновых уравнения в скалярном виде,
то получим шесть одинаковых волновых уравнений вида
2=
2 : ,
(20.21)
/2
где под : подразумевается любая из шести компонент % , % , % , B , B , B
электромагнитного поля. Поэтому далее мы рассмотрим важнейшие модели
скалярных волн, описываемых функцией : , называемой уравнением волны.
Сферическиеволны. Пусть функция : зависит лишь от сферической
*2 , 2 - 2 : : *, , , - : , Подставим эту функцию
координаты
в (20.21). При вычислении лапласиана в правой части (20.21) учтем, что
;
2
2
1
2
2
2
Поэтому уравнение (20.21) может быть записано следующим образом:
2=
/2
2
1 2
2
:
(20.22)
319
Лекция 20
Если ввести новую функцию L : , то для нее волновое уравнение
будет иметь вид:
28
28
2 2
(20.23)
2
/
Решение этого волнового уравнения представляет собой суперпозицию волновых возмущений, движущихся навстречу друг другу:
L , L1
L2
(20.24)
Здесь L1 и L2 — произвольные функции.
Окончательно уравнение сферической волны примет вид:
81 / 82 /
: ,
(20.25)
Первый член в правой части (20.25) представляет собой сферическую волну,
расходящуюся от начала координат, а второй — сходящуюся к началу координат.
Важно отметить, что у расходящейся волны возмущение : ослабевает
обратно пропорционально пройденному волной расстоянию, а у сходящейся, наоборот, нарастает. Геометрическое место точек пространства,
где возмущение : одинаково, представляет собой сферу с центром в начале
координат.
Плоские волны. На больших расстояниях от начала координат фрагмент
сферической волны может быть представлен в виде плоской волны (рис. 20.9)
(часть сферы апроксимируется плоскостью с заданным в пространстве направлением нормали к ней).
Если ввести единичный нормальный вектор , то функция : постоянна
на плоскости
и зависит только лишь от координаты N ,
отсчитываемой вдоль направления нормали к плоскости. Поэтому уравнение такой волны должно зависеть от координаты и времени следующим образом:
: ,
:
,
(20.26)
Подставляя (20.26) в (20.21) и переходя
, приводим
к одной координате N
волновое уравнение к простейшему виду
2=
2=
2 2
(20.27)
Рис. 20.9
2
/
>
Его решение есть суперпозиция двух плоских волн, движущихся навстречу
друг другу:
>
>
: N , :1
:2
,
(20.28)
где :1 и :2 — произвольные функции. Возвращаясь от N к радиусу-вектору,
окончательно получаем
: ,
:1
:
2
(20.29)
320
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
В отличие от сферической волны, возмущение в плоской волне не изменяется
с пройденным волной расстоянием.
Отметим, что сферическая и плоская волны являются абстракциями,
поскольку не существуют в природе. Вместе с тем эти модели волн играют
очень важную роль. Дело в том, что волны реальных источников могут быть
представлены в виде суперпозиции либо сферических, либо плоских волн.
Поэтому обратимся к свойствам этих волн.
Свойства плоских волн. В плоской волне векторы и зависят от
координат и времени следующим образом:
,
;
,
(20.30)
Установим связь и ориентацию векторов и . Выбирая для определенности в (20.30) знак минус, будем тем самым рассматривать плоскую
электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль вектора . Подставим
(20.30) в первые два уравнения Максвелла. Для удобства дифференцирования введем новую переменную . Тогда
1 / E0 / ,
(20.31)
1 / 0 /
(20.32)
При записи (20.31) и (20.32) использовались следующие выкладки:
/
/
/
/
1
1
/
/
/
и т. д.
Интегрируя (переходя от производных к самим функциям) уравнения
(20.31) и (20.32) и отбрасывая константы интегрирования, описывающие
возможно присутствующие статические поля, получаем
1
E0 ,
(20.33)
1
0
(20.34)
Подставив сюда выражение для скорости света (20.20), получим очень
удобные для запоминания соотношения
Рис. 20.10
0
E0
E0 ,
0
(20.35)
(20.36)
Из них следуют несколько важнейших выводов. В плоской бегущей волне:
а) векторы , и взаимно перпендикулярны, поэтому
волна является поперечной;
321
Лекция 20
б) эти векторы образуют правую тройку векторов (рис. 20.10);
в) величины напряженностей электрического и магнитного полей изменяются во времени синхронно, достигая одновременно максимальных и минимальных значений.
Действительно, согласно (20.35) или (20.36), величины % и B связаны
соотношением
0 %
E0 B
(20.37)
Соотношение (20.37) выполняется и для сферической волны. Векторы
и лежат в касательной к сфере плоскости, поэтому сферическая волна
также является поперечной.
Монохроматические волны. Обратимся к временной зависимости волновой функции : , Фундаментальной моделью волны является монохроматическая волна, у которой напряженности полей меняются по гармоническому
закону с некоторой круговой частотой . Тогда выражение (20.29) для
плоской волны может быть записано в виде
: ,
.
0
0
,
(20.38)
где . и 00 — амплитуда и начальная фаза колебаний соответственно.
Монохроматическая волна, как известно из курса механики, характеризуется периодом <
2 , частотой
1<
2 , длиной волны
M < и волновым числом 2M
. Если ввести волновой вектор
, то (20.38) запишется в часто употребляемом виде
: ,
.
00
(20.39)
Подобным образом записывается и уравнение сферической монохроматической волны:
%
: ,
00
(20.40)
Амплитуда сферической волны есть величина . 2. Фаза 0 у обеих
волн определяется выражением в квадратных скобках:
0
0
00 для плоской волны,
00 для сферической волны
Поверхность равной фазы называется фазовой поверхностью, или волновым фронтом. Нетрудно понять, что у волны за время эта поверхность
0.
смещается на величину , определяемую из условия 0
Поэтому фазовая скорость (скорость движения волнового фронта) равна
9
J
(20.41)
/
В среде волновое число еще зависит и от ее свойств, и фазовая скорость
может быть как меньше, так и больше скорости света.
Интенсивность волны. Пусть плоская гармоническая волна распростра%0 - . Тогда из (20.35) следует, что
няетсявдоль оси )- и %
B
0E0 % 0% . На рис. 20.11 показано распределение векторов
напряженности % и индукции 1 вдоль направления распространения в фиксированный момент времени.
11 В. А. Алешкевич
322
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
Рис. 20.11
Поэтому вектор Пойнтинга (17.34) имеет лишь одну компоненту:
#
%
0 %02
B
2
-
(20.42)
Поток энергии «пульсирует» с течением времени. На практике пользуются
усредненной за период величиной плотности потока энергии. Эта величина
называется интенсивностью волны и равна
#
1
(
'
#
0
1
% 2
2 0 0
(20.43)
Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны. Она измеряется в ваттах на квадратный
метр (Вт/м2 . Если в (20.43) подставить значения 0 и , то связь между
и %0 примет вид:
Втм2 1,32 10 3 %0 Вм2
(20.44)
Частотные диапазоны волн. Электромагнитные волны делятся на частотные диапазоны. К радиоволнам относят сверхдлинные (M ( 10 км), длинные (1 км M 10 км), средние (100 м M 1 км), короткие (10 м M
100 м) и ультракороткие (1 мм M 10 м). Радиоволны создаются, как
правило, переменными токами и используются для радиосвязи. Кроме того,
они возникают за счет атмосферных, магнитосферных и других явлений, как
например, резонансы Шумана.
К оптическим волнам относят волны с длиной волны 10 нм M 1 мм.
Такие волны излучаются атомами и молекулами, и будут подробно изучаться в курсе «Оптика». Существует также рентгеновское излучение
(10 пм M 10 нм) и гамма-излучение (M 5 пм). Происхождение этих волн
и их свойства подробно изучаются в курсах атомной и ядерной физики.
Принципы организации сотовой связи. С начала 90-х годов широкое
распространение получила сотовая связь. Разбиение зоны покрытия радиосвязи на ячейки (соты) диктуется необходимостью обеспечить связью громадное
Лекция 20
323
количество абонентов при наличии всего лишь порядка тысячи частотных
каналов связи. При этом достигается и хорошее качество связи.
Например, в стандарте GSM 900 (Global System for Mobile Communications) прием осуществляется в диапазоне частот 890–915 МГц, а передача
в диапазоне 935–960 МГц. Каналы связи должны быть разнесены друг от
друга на 200 кГц, поэтому число приемо-передающих частотных каналов
равно 50 МГц200 кГц 250. На одном частотном канале можно образовать
8 каналов связи, если разнести по времени передаваемую информацию от
каждого из восьми каналов. Тогда общее число каналов связи будет всего
лишь равно 250 8 2000.
Чтобы обеспечить связь большого числа абонентов, используется множество маломощных (100 Вт и ниже) передатчиков. Поскольку диапазон действия таких передатчиков довольно мал, зону покрытия передатчиков можно
разбивать на ячейки, каждая из которых будет обслуживаться собственной
антенной, устанавливаемой в середине ячейки на отдельных мачтах или
крышах высоких зданий.
Равное расстояние между смежными антеннами достигается только при
шестиугольной форме ячеек, как это изображено на рис. 20.12. Ячейка,
которой выделяется своя полоса частот, обслуживается базовой станцией
(БС), состоящей из передатчика, приемника и модуля управления. Смежные
ячейки работают на разных частотах, чтобы избежать интерференции или перекрестных помех. В то же время ячейки, находящиеся на довольно большом
расстоянии друг от друга, могут использовать одинаковые полосы частот.
Размеры сот изменяются от нескольких сотен метров в городах до двух–трех
десятков километров для открытой местности.
Рис. 20.12
Каждая базовая станция соединяется с помощью волоконно-оптических,
радиорелейных, спутниковых и лазерных линий связи к контроллеру, который
управляет работой БС, обрабатывает поступивший сигнал и др.
Контроллер подключен к коммутатору мобильных телекоммуникаций,
причем один коммутатop может обслуживать несколько базовых станций.
Коммутатор соединен со стационарной телефонной или телекоммуникационной сетью, что позволяет абонентам одного оператора делать звонки абонентам другого оператора, а также на стационарные телефоны. Коммутатор
11*
324
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
также соединен с автоматизированной системой расчета (биллинговой системой), следящей за текущим состоянием счетов абонентов, и с базой данных
HLR (Home Location Register), в которой хранятся идентификационные коды
абонентов, записанные на SIM-карте.
Сотовый телефон прослушивает эфир, находит сигнал базовой станции и
посылает станции свой идентификационный код. Телефон и станция поддерживают постоянный радиоконтакт, периодически обмениваясь информацией.
Если при перемещении абонента телефон выходит из поля действия одной
БС, то он налаживает связь с другой.
Система глобального позиционирования. В 1973 г. в США была начата
программа по созданию спутниковой навигации, получившая название GPS
(Global Position System). Начиная со следующего года, на земную орбиту
стали последовательно выводить искусственные спутники Земли, и к 1994 г.
были выведены все необходимые 24 спутника.
На рис. 20.13 схематично изображены навигационные спутники, облетающие Землю. Спутники летят по орбите высотой B 20 000 км. Период
обращения спутников составляет около 12 часов и скорость около 3,8 км/c.
Таким образом, за сутки каждый спутник совершает два полных оборота
вокруг Земли.
Рис. 20.13
Установленный на борту маломощный передатчик (мощность 5 Вт) на
частоте 1 =1575,42 МГц посылает информацию, содержащую номер, дату,
время и местонахождение спутника. Этот «гражданский сигнал» доступен
всем пользователям и обеспечивает точность позиционирования 3–10 метров.
Высокоточный «военный сигнал« передается на двух частотах: 1 и 2
1227,60 МГц. Использование сигнала на двух разных частотах позволяет
уменьшить ионосферные искажения и повысить точность позиционирования
в несколько раз.
Если известно местоположение любого ;-го спутника, задаваемое радиусом-вектором , то положение GPS приемника на Земле, задаваемое
325
Лекция 20
радиусом-вектором
уравнений:
0,
может быть найдено путем решения системы четырех
0
0
(20.45)
Здесь 0 — момент времени одновременного прихода сигналов от четырех
спутников, представляющих собой последовательности радиоимпульсов, —
1, 2, 3, 4). Расчет
момент времени испускания сигнала ;-м спутником (;
показывает, что при наличии 24 спутников приемник сможет принимать
сигналы одновременно от четырех спутников.
Из системы четырех уравнений можно определить три координаты приемника и момент времени 0 . Подчеркнем, что момент времени определяется
по показанию соответствующих бортовых атомных часов, которое отличается
от показания атомных эталонных часов на поверхности Земли. Поскольку
координаты спутников, определяемые наземными базовыми станциями слежения, известны, то можно это различие вычислить для каждого спутника.
Информацию об этом различии базовая станция посылает в приемник в виде
корректирующего сигнала. На рис. 20.14 даны соответствующие пояснения.
Рис. 20.14
Надо также учесть, что темп хода атомных часов, установленных на
борту движущегося спутника, с учетом действия гравитационного поля будет
отличаться от темпа хода таких часов на поверхности Земли.
Атомные часы спутника из-за наличия гравитации за сутки «убегут» на
величину
.
?7
2 ,
(20.46)
2
где
/
При B
F8
3
1
7
19200 км и
1
— изменение гравитационного потенциала.
8,64 104 с величина
46 мкс.
326
Раздел 7. Электромагнитные колебания и волны
С другой стороны, при скорости движения спутника '
отстанут за сутки на величину
1
1
2
2
1
2
3,8 2
10
4
10
8,64 10
3
7 мкс
(20.47)
Таким образом, разница в показаниях часов на спутнике и на Земле за
сутки составит величину 46 7 39 мкс. Если не учитывать это различие, то ошибка в определении расстояния между спутником
и приемником составила бы величину 11,7 км.
В настоящее время функционирует российская навигационная система
ГЛОНАСС (Глобальная Навигационная Система), а в ближайшем будущем
вступит в эксплуатацию и европейская система ГАЛИЛЕО.
1 2
3800 м/с часы
РАЗДЕЛ
8
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ
ЛЕКЦИЯ 21
Классическая теория электропроводности. При изучении закономерностей протекания постоянного тока в проводниках мы установили, что ток
в них создается присутствующим электрическим полем, при этом плотность
тока подчиняется закону Ома в дифференциальной форме
!
(21.1)
К хорошим проводникам относятся металлы: их удельная проводимость
! 106 –108 Oм 1 м 1 . Причина такой высокой проводимости кроется в наличии большого числа валентных электронов, потерявших связь со своими
атомами и совершающих хаотическое движение внутри проводника. Эти
электроны называются электронами проводимости.
При наложении электрического поля с напряженностью % электроны
проводимости начинают двигаться в направлении, противоположном приложенному полю, или дрейфовать под действием этого поля.
В классической теории электропроводности электроны рассматриваются
как классический электронный газ с концентрацией Поэтому при наложении электрического поля в момент времени 0 скорость дрейфа электрона
будет возрастать во времени:
(21.2)
Однако из-за хаотического движения электрон, в среднем через время ,
будет сталкиваться с атомами кристаллической решетки, теряя при этом
полностью дрейфовую скорость, и начинать вновь двигаться с ускорением с начальной нулевой скоростью. Таким образом, скорость дрейфа будет
изменяться во времени так, как это изображено на рис. 21.1. Если использовать среднюю скорость дрейфа
ср
,
(21.3)
2
то плотность тока
Рис. 21.1
2
ср 2
(21.4)
Следовательно, удельная электропроводность получается равной
2
(21.5)
2
Модель проводящей среды в виде электронного газа, частицы которого
дрейфуют по действием приложенного электрического поля и одновременно
!
328
Раздел 8. Зонная теория электропроводности
совершают беспорядочные тепловые движения, называется моделью Друде–
Лоренца.
Как будет показано ниже, подобное выражение получается и в квантовой
теории электропроводности, с той лишь разницей, что в знаменателе (21.5)
стоит эффективная масса электрона , не равная массе электрона . Последнее обстоятельство связано с тем, что электрон взаимодействует с ионами
кристаллической решетки и разгоняется под действием электрического поля
по-иному, чем свободный электрон.
Среднее время
между двумя столкновениями в модели классического
электронного газа должно определяться отношением средней длины свободного пробега пр к средней скорости беспорядочного теплового движения:
пр . Тогда
2 пр
!
(21.6)
2 @
Хотя классическая теория и позволила установить связь между током и
электрическим полем, однако возникли непреодолимые трудности при сравнении результатов теории с экспериментом.
Закон Видемана–Франца. В 1853 г. немецкими физиками Г. Видеманом
и Р. Францем экспериментально было установлено, что для металлов отношение коэффициента теплопроводности $ к удельной электропроводности !
пропорционально температуре
:
5< ,
где коэффициент пропорциональности 5 — число Лоренца, а само соотношение получило название закона Видемана–Франца.
На первый взгляд может показаться, что этот закон является доказательством справедливости модели классического электронного газа, определяющего как теплопроводность, так и электропроводность металлов. В самом
деле, если принять, что
@2
3
B < ,
2
2
а коэффициент теплопроводности
$
то
:
1
пр
3
2
1
пр
3
2
2 @
1 3
B пр ,
3 2
2 2 @2
3
2
3
B
2
<
Число Лоренца 5 3 B
2,2 10 8 Вт Ом K 2 хорошо согласуется
с экспериментом. Однако, приведя к правильному результату, классическая
теория, тем не менее, оказалась неприемлемой.
Разнообразные эксперименты показывают, что длина свободного пробега
электронов проводимости может превышать 1 см, что составляет 108 –109 межатомных расстояний. Классическая теория не дает ответа на вопрос, почему
электроны проходят огромное число периодов решетки и не испытывают при
этом столкновений ни с ионами, ни с другими электронами проводимости.
329
Лекция 21
Если принять, что < , как, например, для идеального газа, то удель1! < . Однако эксперимент дает совершенно
ное сопротивление
другой результат: в широкой области температур удельноесопротивление
1! < , а при очень низких температурах ряд веществ переходят
в сверхпроводящее состояние.
Закон Видемана–Франца оказался справедлив благодаря удачной взаимной компенсации двух ошибок: в действительности скорость теплового
движения практически не зависит от температуры и близка к фермиевой
скорости электрона: J3 (см. далее (21.32)), а средняя энергия E электрона
является линейной функцией < 2 (см. (21.45)). Поэтому удельная теплоемкость электрона 1 E< < (пропорциональна температуре), и отношение $! < . Попутно отметим, что и при расчетах теплопроводности
проводников классическая модель также не приводит к правильным выводам.
Помимо проводников, существуют диэлектрики, являющиеся хорошими
изоляторами: для них !
10 8 Oм 1 м 1 . Промежуточное положение по
своей электропроводности между проводниками и изоляторами занимают
полупроводники.
Все это свидетельствует о том, что модель свободного электронного газа,
подчиняющегося статистике Максвелла–Больцмана, непригодна для описания электропроводности проводников.
Объяснение этих и других свойств твердых тел может быть дано лишь
на основе квантовой теории. В этой теории учитывается квантовый характер
взаимодействия электронов как с кристаллической решеткой, так и друг
с другом. Ниже излагаются основные подходы, лежащие в основе квантовой
теории электропроводности твердых тел.
Волновые свойства частиц. В начале ХХ столетия в оптике появилась
концепция корпускулярно-волнового дуализма, согласно которой свет, с одной
стороны, представляет собой электромагнитную волну частоты , характери ( — скорость света). С другой стороны,
зуемую волновым числом
световая волна интерпретировалась как поток фотонов, при этом энергия
фотона
E ,
а его импульс
(21.7)
В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что частице с заданными
значениями энергии E и импульса можно поставить в соответствие волну
с частотой и волновым числом .
Если частица, например, свободно движется в положительном направлении оси )*, то соответствующая волна будет описываться волновой функцией (волной де Бройля)
# *,
где
> ; *
>
L *
;
E
*
> ;*
;
E
L *, (21.8)
(21.9)
330
Раздел 8. Зонная теория электропроводности
— волновая функция стационарного состояния (состояния с определенной
энергией), зависящая только от координаты.
По виду выражение (21.8) описывает некоторую плоскую волну. Физический смысл волны де Бройля состоит в том, что значение функции
#*, 2 #*, #*, равно плотности вероятности нахождения частицы в момент времени в точке с координатой *. Для волновой функции
вида (21.8) эта плотность вероятности является постоянной величиной. Смена
знака волнового числа означает изменение направления движения электрона.
Проводя дальнейшую аналогию с светом, в соответствии с (21.7), введем
дисперсионное соотношение
E E,
(21.10)
для световой волны. Групподобно дисперсионному соотношению
повая скорость электрона определяется из дисперсионного соотношения
E
Jгр
,
(21.11)
подобно групповой скорости оптического импульса J .
J 2 2,
J , поэтому дисперсионное
Для свободной частицы E
соотношение и групповая скорость будут равны:
2
E
E
J
2
2
2
,
J
(21.12)
Важно подчеркнуть, что свободный электрон может иметь любое
значение импульса и соответствующей энергии и не ограничен в своем
местоположении.
Уравнение Шредингера. Завершая «оптико-механическую» аналогию,
запишем волновое уравнение, решением которого была бы волновая функция
(21.8). Если речь идет о гармонической электромагнитной волне
% *,
% * ; ,
(21.13)
то выражение (21.13) является решением волнового уравнения
2
2 , /
2 , /
/2
2
Подставляя (21.13) в (21.14), получаем уравнение Гельмгольца
(21.14)
2
2% * 0,
(21.15)
2
— волновое число.
где
Поскольку в квантовой механике 2 2 2 , а полная энергия (сумма
кинетической и потенциальной энергий) равна
E
2 2 / *,
(21.16)
331
Лекция 21
2E / 2 и перехода
то уравнение Гельмгольца с учетом равенства 2
от % * к L * преобразуется к виду
2
2
/ *
2 2
L
EL
(21.17)
Это уравнение называется стационарным уравнением Шредингера. Оно
позволяет рассчитать волновые функции и полную энергию частицы, находящейся в потенциальном поле (например, в потенциальной яме), если известно
пространственное распределение потенциальной энергии / *.
Если частица перемещается в потенциальном поле вдоль трех координатных осей, то уравнение Шредингера запишется в виде
2
2
/ *, ,, -
L
EL ,
(21.18)
2
2
2
— оператор Лапласа. Оператор в круглых скобках
2
2
2
называется оператором Гамильтона:
где
B
2
2
/ *, ,, -
Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в компактном виде:
BL
EL
(21.19)
Блестящим подтверждением гипотезы де Бройля явились опыты по дифракции электронного пучка. Идея о наличии волновых свойств у электронов
нашла свое экспериментально воплощение в создании электронных микроскопов, разрешение которых определяется длиной волны де Бройля и находится
на уровне нескольких ангстрем.
Электронный газ в металле. Энергия Ферми. Металл можно рассматривать как совокупность колеблющихся в узлах кристаллической решетки & положительно заряженных ионов и & I& коллективизированных валентных электронов (I — валентность), потерявших связь с атомами
и перемещающимися по кристаллу. Электронная и ионная системы взаимодействуют между собой. Кроме того, электроны не могут покинуть объем
кристалла. Для выхода на поверхность над электроном следует совершить
работу, равную работе выхода .вых .
Принято считать, что наличие работы выхода обусловлено двумя причинами. Одна из них связана с тем, что электрон, оказавшись вне кристалла
в непосредственной близости, будет испытывать притяжение со стороны положительных индуцированных зарядов, подобно тому, как это имеет место
при электростатической индукции. Вторая причина обусловлена наличием
вблизи поверхности металла тонкого слоя вылетающих из металла электронов (электронной атмосферы). Этот отрицательно заряженный слой вместе
с положительно заряженной поверхностью (подобно конденсатору) создают
электрическое поле, препятствующее удалению электрона от поверхности
металла. Для большинства металлов работа выхода порядка нескольких
электронвольт.
332
Раздел 8. Зонная теория электропроводности
Если принять потенциальную энергию электрона вне кристалла равной
нулю, то внутри кристалла его потенциальная энергия отрицательна. Другими словами, электрон находится внутри кристалла в потенциальной яме.
Отвлечемся вначале от взаимодействия электрона с ионами решетки
и рассмотрим, как повлияет на его движение наличие потенциальной ямы.
Предположим, что кристалл имеет форму параллелепипеда с длинами сторон 5 , 5 и 5 , ориентированных вдоль соответствующих координатных осей.
На рис. 21.2 изображена потенциальная яма глубиной /0 и длиной 5. Если кинетическая энергия
электрона 2 2 /0 , то, как следует из решения
уравнения Шредингера, электрон не может выйти даРис. 21.2
леко за пределы этой ямы (вероятность нахождения
электрона вне ямы стремительно убывает при его удалении от края ямы).
При /0 вероятность нахождения электрона вне ямы стремится к нулю.
Пространственные ограничения, накладываемые на перемещение электрона, приводят к тому, что волновой вектор и соответствующая ему энергия E
могут принимать лишь определенные дискретные значения
E
2
(21.20)
2
С подобной ситуацией мы сталкивались в механике, рассматривая, например, образование стоячих волн в струне длиной 5 с закрепленными концами.
Записывая нулевые граничные условия для смещения струны, мы находили
дискретные значения частот нормальных колебаний (мод).
В рассматриваемом случае мы не можем поступить подобным образом,
сначала представив волновую функцию электрона в виде суперпозиции двух
волн де Бройля, движущихся навстречу друг другу, а затем из нулевых
граничных условий определив дискретный набор значений волнового числа.
При таком подходе электрон «лишается» своего права с равной вероятностью
посещать все области ограниченного пространства.
Поэтому используют волновую функцию (21.8), соответствующую бегущей волне с постоянной амплитудой и «позволяющую» электрону с равной
вероятностью находиться во всех точках доступного ему пространства.
Потребуем теперь, чтобы функция (21.9) была периодической с периодом 5:
L * L * 5
(21.21)
Это равенство является периодическим граничным условием Борна–Кармана.
2 ,
1, 2,
Оно означает, что разность фаз на границах ямы 5
3, . . . . Отсюда получаются условия квантования волнового вектора
2
и энергии
E
(21.22)
E
2
2
(21.23)
Лекция 21
333
На рис. 21.3 изображена параболическая зависимость (21.23) энергии от
волнового числа. Точки на этой кривой соответствуют квантованным значениям энергии и волнового числа.
E
Полученные выражения легко обобщаются на
трехмерный случай. Проекции волнового вектора
на оси координат будут иметь дискретные значения
2
2
2
;
;
, (21.24)
Рис. 21.3
а энергия
2 2
2 2 ,
(21.25)
E E
2
или
2
2
2
(21.26)
E E
2
Если частица обладает некоторой энергией, то принято говорить, что частица находится на энергетическом уровне, характеризуемом этим значением
энергии.
Зададимся теперь вопросом: каким образом I& электронов проводимо53 (для удобства полагаем
сти, перемещающиеся в замкнутом объеме '
5
5
5
5), будут «расселяться» по этим энергетическим уровням?
Их число ничем не ограничено, а число частиц конечно.
Введем понятие квантового состояния электрона в импульсном пространстве. При изменении в (21.22) целого числа на 1, электрон переходит
в другое состояние. При этом изменение волнового числа равно 25,
а импульса —
25. Тогда «объем» квантового состояния
(ячейки) в импульсном пространстве будет равен объему элементарного кубика
2 3
2 3
(21.27)
Согласно принципу запрета Паули, в каждом квантовом состоянии может
находиться не более одного электрона. Это означает, что число занятых
ячеек будет равно числу электронов проводимости. Совокупность свободных
невзаимодействующих электронов, подчиняющихся
принципу Паули, называется электронным газом
Ферми.
При абсолютном нуле температуры «заселение»
начинается на низших уровнях и заканчивается на
некотором (или некоторых) самом верхнем уровне
с энергией E3 , получившей название энергии Ферми.
Вычислим энергию Ферми, приравняв число занятых
квантовых ячеек (в импульсном пространстве) числу
Рис. 21.4
электронов проводимости.
На рис. 21.4 в импульсном пространстве изображена одна ячейка, объем
которой определяется формулой (21.27). Сфера с радиусом 3 (сфера Ферми)
ограничивает объем, внутри которого в каждой ячейке находится по одному
334
Раздел 8. Зонная теория электропроводности
электрону. Радиус этой сферы (импульс Ферми) можно найти из очевидного
равенства:
4 3 3
I& 2
(21.28)
Множитель 2 в правой части (21.28) «разрешает» двум электронам с противоположными направлениями спинов находиться в одной ячейке. Тогда
энергия Ферми получается равной
23
2
2 3 2 3&
E3
(21.29)
2
2
Таким образом, энергия Ферми зависит от концентрации электронов проводимости.
Скорость электронов на поверхности Ферми (скорость Ферми) будет равна
J3
3 2 3&
13
(21.30)
Электроны со скоростью, близкой к J3 , называют фермиевскими электро1022 –
нами. В металлах концентрация электронов проводимости &'
23
3
19
1–10 эВ (1 эВ
1,6 10
Дж), скорость
10 cм , энергия Ферми E3
Ферми J3 108 см/с.
Еще одной важной характеристикой является температура вырождения
(температура Ферми)
E
422
E0 &1 E1 &2 E2
E
(21.37)
Здесь E0 — энергия электронов, находящихся на всех остальных уровнях. Ее
величина не имеет в данном расчете никакого значения. Если «переселить»
& электронов с нижнего уровня E1 на верхний уровень E2 E1 E, то
энергия ферми-газа возрастет на величину
E & E & E2
E1
(21.38)
Изменится также и термодинамическая вероятность на величину ,
поскольку &2 увеличится на величину & , а &1 на такую же величину
уменьшится. Удобно рассчитать приращение логарифма термодинамической
вероятности:
Для больших чисел .
. .. Воспользовавшись ею, находим
&2 ?1 &1
&1 ?2 &2
&
=2 1 =1
=1 1 =2
&
(21.40)
Из курса молекулярной физики известно, что при температуре <
1
(21.41)
B(
E
С учетом (21.41) из (21.38) и (21.40) получаем
E1 B <
=1
1 =1
E2 B <
=2
1 =2
Поскольку последнее равенство справедливо для произвольно выбранных
уровней энергии, то мы вправе записать
E B <
= E
1 = E
E
(21.42)
Величина E называется химическим потенциалом. Из (21.42) получаем
искомое распределение Ферми–Дирака
: E
E 1
B
1
(21.43)
337
Лекция 21
Отсюда видно что при E
E : E
12. Таким образом, химический
потенциал равен энергии состояния, вероятность заполнения которого
равна 1/2.
E
Распределение Ферми–Дирака при различных температурах изображено на
рис. 21.5. При абсолютном нуле температуры (как это отмечалось ранее) в металлах
оно представляет собой ступеньку, ограниченную энергией Ферми E3 . Как следует
из определения химического потенциала,
E
E
12 и устремляя
полагая в (21.43) :
< 0, убеждаемся, что (21.43) превращаРис. 21.5
ется в ступеньку, если E E3 . Вблизи
абсолютного нуля температур электронный газ называется вырожденным
газом.
С увеличением температуры ступенька размывается в окрестности энергии Ферми. Ширина области размытия при низких температурах (<
1
(22.39)
Если принять во внимание, что число атомов в кристалле &атом 523 ,
минимальная длина волны фонона Mф 22, а максимальная частота
'зв 222 'зв 2, то выражение (22.39) примет совсем простой вид:
&атом
2
&ф
( 3
(
' '
0
>2
N
> 1
(22.40)
Рассмотрим два предельных случая:
А) <
1
&атом
2
( 3
(
(22.41)
. . .,
вычисляем
' '
N N
0
&атом (
(22.42)
&атом
4
(
Таким образом, при температурах ниже температуры Дебая число фононов много меньше числа атомов. При нагревании оно быстро увеличивается
пропорционально третьей степени температуры. При приближении к температуре Дебая это нарастание замедляется и затем становится пропорциональным температуре.
Фононы являются центрами рассеяния электронов, движущихся под действием внешнего электрического поля. Как уже отмечалось ранее, электрон,
стартуя со дна энергетической зоны, под действием поля увеличивает свой
импульс и энергию до тех пор, пока не достигнет границы зоны Бриллюэна:
E
1 E
2
. Его скорость J
при приближении к границе
будет уменьшаться до нуля, а затем электрон начнет двигаться в обратном
направлении и т. д. Естественно, что в такой идеализированной ситуации
электрический ток будет равен нулю.
Однако если произойдет столкновение с фононом, то электрон может
«свалиться» опять на дно энергетической зоны. Поэтому он все время будет
двигаться в одном направлении и в металле будет протекать электрический
ток. Эффективность одного столкновения будет тем больше, чем больше
импульс фонона.
351
Лекция 22
При температурах выше температуры Дебая частоты большей части фононов можно положить равными максимальной частоте , а волновой вектор
H
2 , и по величине он такой же, как и у электрона.
'зв
Поэтому достаточно одного столкновения, чтобы «сбросить» электрон на дно
энергетической зоны.
Время свободного пробега будет обратно пропорционально числу таких
«сбрасываний». Фононы в области температур <
Последние комментарии
22 часов 9 минут назад
1 день 6 часов назад
1 день 20 часов назад
2 дней 45 минут назад
2 дней 1 час назад
2 дней 1 час назад